Tứ giác

1: Xét tứ giác AFBK có

D là trung điểm chung của AB và FK

góc AFB=90 độ

=>AFBK là hình chữ nhật

2: Xét ΔBAC có

BF/BC=BD/BA

nên DF//AC và DF=AC/2

=>DF//AE và DF=AE

=>DK//AE và DK=AE
=>AKDE là hình bình hành

=>AD cắt KE tại trung điểm của mỗi đường

=>O là trung điểm chung của AD và KE

2: Xét ΔABC có AD/AB=AE/AC

nên DE//BC và DE=BC/2

=>DE//BF và DE=BF

=>DEFBlà hình bình hành

=>DF cắt EB tại trung điểm của mỗi đường

=>H là trung điểm chung của FD và EB

Xét ΔEKB có EO/EK=EH/EB

nên OH//KB

=>OH vuông góc BC

=>OH vuông góc DE

Em ghi đề lại cho đầy đủ nhé.

a: Xét tứ giác AMCK có

I là trung điểm chung của AC và MK

góc AMC=90 độ

Do đó: AMCK là hình chữ nhật

b: BM=CM=BC/2=3cm

\(AM=\sqrt{5^2-3^2}=4\left(cm\right)\)

S=1/2*AM*BC=1/2*6*4=3*4=12cm²

c: Để AMCK là hình vuông thì AM=CM=BC/2

=>ΔABC vuông tại A

   a) *) Chứng minh AMNB là hình bình hành:

Do O là giao điểm của AC và BD

Mà ABCD là hình bình hành (gt)

⇒ O là trung điểm của AC và BD

Do MN // AB (gt)

⇒ OM // CD

∆ACD có

O là trung điểm AC

OM // CD

⇒ M là trung điểm AD

⇒ AM = AD : 2   (1)

Do MN // AB (gt)

⇒ ON // AB

∆ABC có:

O là trung điểm AC (cmt)

ON // AB (cmt)

⇒ N là trung điểm BC

⇒ BN = BC : 2   (2)

Do ABCD là hình bình hành (gt)

⇒ AD // BC

⇒ AM // BN

Từ (1) và (2) ⇒ AM = BN

Tứ giác AMNB có:

AM // BN (cmt)

AM = BN (cmt)

⇒ AMNB là hình bình hành

*) Chứng minh APCQ là hình bình hành

Do ABCD là hình bình hành (gt)

⇒ AB // CD

⇒ AP // CQ

Tứ giác APCQ có:

AP // CQ (cmt)

AP = CQ (gt)

⇒ APCQ là hình bình hành

c) Do O là trung điểm AC (cmt)

M là trung điểm AD (cmt)

⇒ OM là đường trung bình của ∆ACD

⇒ OM = CD : 2   (3)

Do O là trung điểm AC (cmt)

N là trung điểm BC (cmt)

⇒ ON là đường trung bình của ∆ABC

⇒ ON = AB : 2

Mà AB = CD (do ABCD là hình bình hành)

⇒ OM = ON

⇒ O là trung điểm MN

Do APCQ là hình bình hành (cmt)

O là trung điểm AC (cmt)

⇒ O là trung điểm PQ

Tứ giác MPNQ có:

O là trung điểm MN (cmt)

O là trung điểm PQ (cmt)

⇒ MPNQ là hình bình hành

⇒ MP // NQ và MQ = NP

a: Xét ΔABC có

D,E lần lượt là trung điểm của AB,AC

=>DE là đường trung bình của ΔABC

=>DE//BC và \(DE=\dfrac{BC}{2}\)

Xét tứ giác BDEC có DE//BC

nên BDEC là hình thang

b: Xét tứ giác DECF có

DE//CF

DF//CE

Do đó: DECF là hình bình hành

=>DC cắt EF tại trung điểm của mỗi đường

mà G là trung điểm của DC

nên G là trung điểm của EF

=>E,G,F thẳng hàng

c: Xét ΔABC có

D là trung điểm của BA

DF//AC

Do đó: F là trung điểm của BC

Xét ΔDBC có

DF,BG là các đường trung tuyến

DF cắt BG tại H

Do đó: H là trọng tâm của ΔDBC

giúp mình với

a: Xét ΔABC có

E,F lần lượt là trung điểm của AB,AC

=>EF là đường trung bình của ΔABC

b: Xét ΔABC có

E,J lần lượt là trung điểm của BA,BC

=>EJ là đường trung bình của ΔABC

=>EJ//AC và \(EJ=\dfrac{AC}{2}\)

Ta có: EJ//AC

F\(\in\)AC

Do đó: EJ//AF

Ta có: \(EJ=\dfrac{AC}{2}\)

\(AF=\dfrac{AC}{2}\)

Do đó: JE=AF

Xét tứ giác AEJF có

AF//EJ

AF=EJ

Do đó: AEJF là hình bình hành

=>AJ cắt EF tại trung điểm của mỗi đường

=>S là trung điểm chung của AJ và EF

Lời giải:
a. $M,E$ là trung điểm $BC, AC$

$\Rightarrow ME$ là đường trung bình của $ABC$ ứng với $AB$

$\Rightarrow ME\parallel AB$

Mà $AB\perp AC$ nên $ME\perp AC$

$\Rightarrow \widehat{E}=90^0$

Tứ giác $ADME$ có 3 góc vuông $\widehat{A}=\widehat{D}=\widehat{E}=90^0$ nên là hcn.

b.

Tứ giác $AMKC$ có 2 đường chéo $AC, MK$ cắt nhau tại trung điểm $E$ của mỗi đường nên là hình bình hành.

Mà $MK\perp AC$ (do $ME\perp AC$) 

$\Rightarrow AMKC$ là hình thoi.

c.

Gọi I là giao $DE, HM$

$DM\perp AB, AB\perp AC\Rightarrow DM\parallel AC$

$\Rightarrow \frac{DB}{AD}=\frac{BM}{MC}=1$ (định lý Talet)

$\Rightarrow DB=AD$ hay $D$ là trung điểm $AB$

$ME$ là đường trung bình ứng với cạnh AB

$\Rightarrow ME\parallel AB$ và $ME=\frac{1}{2}AB$

Mà $E$ là trung điểm của $MK$

$\Rightarrow EK\parallel AB$ và $EK=AB:2$

$\Rightarrow EK\parallel DA$ và $EK=DA$

$\Rightarrow DEKA$ là hbh

$\Rightarrow DE\parallel AK$

Mà $HM\perp AK$ nên $DE\perp HM(*)$

Lại có:

$DE\parallel AK \Rightarrow IE\parallel HK$

$\Rightarrow \frac{MI}{IH}=\frac{ME}{EK}=1$

$\Rightarrow MI=IH(**)$

Từ $(*); (**)$ suy ra $DE\perp HM$ tại trung điểm $I$ của $HM$

$\Rightarrow DE$ là đường trung trực của $HM$

$\Rightarrow DH=DM, EH=EM$

$\Rightarrow \triangle DHE=\triangle DME$ (c.c.c)

$\Rightarrow \widehat{DHE}=\widehat{DME}=90^0$

$\Rightarrow DH\perp HE$

ΔHAB vuông tại H

mà HD là trung tuyến

nên HD=AD

ΔHAC vuông tại H

mà HE là trung tuyến

nên EA=EH

EA=EH

DA=DH

=>ED là trung trực của AH