Bài 8: Gọi số người của đội I; đội II; đội III lần lượt là a(người), b(người), c(người)

(Điều kiện: a,b,c∈N*)

Vì đội I; đội II; đội III lần lượt hoàn thành công việc trong 5 ngày; 8 ngày; 10 ngày nên ta có: 5a=8b=10c

=>\(\frac{5a}{40}=\frac{8b}{40}=\frac{10c}{40}\)

=>\(\frac{a}{8}=\frac{b}{5}=\frac{c}{4}\)

Đội thứ ba có ít hơn đội thứ nhất là 4 người nên a-c=4

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\frac{a}{8}=\frac{b}{5}=\frac{c}{4}=\frac{a-c}{8-4}=\frac44=1\)

=>\(\begin{cases}a=1\cdot8=8\\ b=1\cdot5=5\\ c=1\cdot4=4\end{cases}\) (nhận)

Vậy: số người của đội I; đội II; đội III lần lượt là 8(người), 5(người), 4(người)
Bài 7: Gọi số sản phẩm người thứ nhất, người thứ hai và người thứ ba làm được trong một giờ lần lượt là a(sản phẩm), b(sản phẩm), c(sản phẩm)

(Điều kiện: a,b,c∈N*)

Vì người thứ nhất, người thứ hai, người thứ ba lần lượt hoàn thành công việc trong 9 giờ; 6 giờ; 7h30p=7,5 giờ nên ta có:

9a=6b=7,5c

=>6a=4b=5c

=>\(\frac{6a}{60}=\frac{4b}{60}=\frac{5c}{60}\)

=>\(\frac{a}{10}=\frac{b}{15}=\frac{c}{12}\)

Trong 1 giờ, người thứ hai làm được nhiều hơn người thứ ba là 3 sản phẩm nên b-c=3

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\frac{a}{10}=\frac{b}{15}=\frac{c}{12}=\frac{b-c}{15-12}=\frac33=1\)

=>\(\begin{cases}a=10\cdot1=10\\ b=15\cdot1=15\\ c=12\cdot1=12\end{cases}\) (nhận)

Vậy: số sản phẩm người thứ nhất, người thứ hai và người thứ ba làm được trong một giờ lần lượt là 10(sản phẩm), 15(sản phẩm), 12(sản phẩm)

Bài 6: Gọi số quyển vở loại I; loại II; loại III mà người đó mua lần lượt là a(quyển), b(quyển), c(quyển)

(Điều kiện: a,b,c∈N*)

Vì số tiên phải trả cho mỗi loại vở là bằng nhau nên ta có: 8000a=6000b=5000c

=>8a=6b=5c

=>\(\frac{8a}{120}=\frac{6b}{120}=\frac{5c}{120}\)

=>\(\frac{a}{15}=\frac{b}{20}=\frac{c}{24}\)

Tổng số quyển vở là 118 quyển nên a+b+c=118

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\frac{a}{15}=\frac{b}{20}=\frac{c}{24}=\frac{a+b+c}{15+20+24}=\frac{118}{59}=2\)

=>\(\begin{cases}a=2\cdot15=30\\ b=2\cdot20=40\\ c=2\cdot24=48\end{cases}\) (nhận)

vậy: số quyển vở loại I; loại II; loại III mà người đó mua lần lượt là 30(quyển), 40(quyển), 48(quyển)

Bài 5: Tổng số người của đội sau khi tăng thêm 8 người là:

40+8=48(người)

Thời gian hoàn thành thực tế la:

\(40\cdot12:48=10\) (giờ)

Thời gian hoàn thành giảm thành là:

12-10=2(giờ)

Bài 4: Gọi thời gian đi và thời gian về lần lượt là a(giờ), b(giờ)

(Điều kiện: a>0; b>0)

Độ dài quãng đường từ A đến B là 40a(km)

Độ dài quãng đường từ B về A là 50b(km)

Do đó, ta có: 40a=50b

=>4a=5b

=>\(\frac{a}{5}=\frac{b}{4}\)

Tổng thời gian đi và về là 3h36p=3,6 giờ nên a+b=3,6

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\frac{a}{5}=\frac{b}{4}=\frac{a+b}{5+4}=\frac{3.6}{9}=0.4\)

=>\(\begin{cases}a=0,4\cdot5=2\\ b=0,4\cdot4=1,6\end{cases}\) (nhận)

Vậy: thời gian đi và thời gian về lần lượt là 2(giờ), 1,6(giờ)

a: Xét tứ giác ABDC có \(\hat{BAC}+\hat{BDC}=90^0+90^0=180^0\)

nên ABDC là tứ giác nội tiếp

=>\(\hat{ACD}+\hat{ABD}=180^0\)

b:

ΔBDC vuông cân tại D

=>DB=DC và \(\hat{DBC}=\hat{DCB}=45^0\)

ABDC là tứ giác nội tiếp

=>\(\hat{CAD}=\hat{CBD}\)

=>\(\hat{CAD}=45^0\)

Xét ΔDIA vuông tại D có \(\hat{DAI}=45^0\)

nên ΔDAI vuông cân tại D

=>DA=DI

c: Ta có: ABDC là tứ giác nội tiếp

=>\(\hat{BAD}=\hat{BCD}\)

=>\(\hat{BAD}=45^0\)

TA có: \(\hat{BAD}=\hat{CAD}\left(=45^0\right)\)

=>AD là phân giác của góc BAC

a: Xét ΔMAB và ΔMCN có

MA=MC

\(\hat{AMB}=\hat{CMN}\) (hai góc đối đỉnh)

MB=MN

Do đó: ΔMAB=ΔMCN

=>AB=CN

ΔMAB=ΔMCN

=>\(\hat{MAB}=\hat{MCN}\)

=>\(\hat{MCN}=90^0\)

=>MC⊥CA
b: Xét ΔMCB và ΔMAN có

MC=MA

\(\hat{CMB}=\hat{AMN}\) (hai góc đối đỉnh)

MB=MN

Do đó: ΔMCB=ΔMAN

=>\(\hat{MCB}=\hat{MAN}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên CB//AN

ΔMCB=ΔMAN

=>CB=AN

a: Xét ΔAEB và ΔADC có

AE=AD
\(\hat{EAB}\) chung

AB=AC

Do đó: ΔAEB=ΔADC

=>EB=DC

b: ΔAEB=ΔADC

=>\(\hat{AEB}=\hat{ADC}\)

mà \(\hat{AEB}+\hat{CEB}=180^0\) (hai góc kề bù)

và \(\hat{ADC}+\hat{BDC}=180^0\) (hai góc kề bù)

nên \(\hat{CEB}=\hat{BDC}\)

Ta có: ΔAEB=ΔADC

=>\(\hat{ABE}=\hat{ACD}\)

Ta có: AD+DB=AB

AE+EC=AC
mà AD=AE và AB=AC
nên DB=EC

Xét ΔKDB và ΔKEC có

\(\hat{KDB}=\hat{KEC}\)

DB=EC
\(\hat{KBD}=\hat{KCE}\)

Do đó: ΔKDB=ΔKEC

c: ΔKDB=ΔKEC

=>KB=KC

Xét ΔAKB và ΔAKC có

AK chung

KB=KC

AB=AC

Do đó: ΔAKB=ΔAKC

=>\(\hat{BAK}=\hat{CAK}\)

=>AK là phân giác của góc BAC

d: Xét ΔKBC có KB=KC

nên ΔKBC cân tại K

a) xét tam giác ABE và ACD có:

AB=AC(tam giác ABC cân tại A)

^A chung

AE=AD(gt)

suy ra tam giác ABE = ACD(c.g.c)

do đó BE=CD(2 cạnh t/ứ) ( đpcm)

^ABE=^DCA( 2 góc t/ứ)

b) vì k cắt CD và BE nên:

^CDA=^BEA

ta có : ^ CDA + ^CDB = 180 độ ( 2 góc kề bù)

^BEC+^BEA=180( 2 độ góc kề bù)

suy ra ^CDB=^BEC

AB=AC(tam giác ABC cân tại A)

AD=AE(gt)

ta lại có : BD+DA=BD

CE+EA=AC

suy ra BD=CE

xét tam giác KBD và KCE có:

^KDB=^KEC(vì ^CDB=^BEC)

DB=CE(cmt)

^DBK=^ECK(vì ^ABE=^DCA)

suy ra tam giác KBD = KCE(g.c.g)(đpcm)

do đó DK=KE(2 cạnh t/ứ)

c) vì DK= KE(cmt)

suy ra K cách đều 2 cạnh AB ,AC

do đó AK là tia p/g của góc A(đpcm)

d) vì DK= KE(cmt)

BE=CD(cmt)

ta có BK+KE=BE

CK+KD=CD

do đó BK=KC

xét tam giác BKC có:

BK=KC (cmt)

suy ra tam giác BKC là tam giác cân tại K( đpcm)

\(A=\frac{a^2}{bc}+\frac{b^2}{ac}+\frac{c^2}{ab}\)
\(=\frac{a^3}{abc}+\frac{b^3}{abc}+\frac{c^3}{abc}=\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}\)
Ta có:
\(a^3+b^3+c^3\)
\(=a^3+b^3+\left\lbrack-\left(a+b\right)\right\rbrack^3\) \(\)
\(=a^3+b^3-\left\lbrack a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)\right\rbrack\)
\(=a^3+b^3-\left(a^3+b^3\right)-3ab\left(a+b\right)\)
\(=-3ab\left(a+b\right)\)
\(=-3ab\left(-c\right)\)
\(=3abc\)
Thay \(a^3+b^3+c^3\) vào A, ta có:
\(A=\frac{3abc}{abc}=3\)