\(=\int\dfrac{12}{4x^2-12x+24}=\int\dfrac{12}{\left(2x-3\right)^2+15}dx=\dfrac{4}{5}\int\dfrac{1}{\left(\dfrac{2x-3}{\sqrt{15}}\right)^2+1}dx\)

Đặt \(\dfrac{2x-3}{\sqrt{15}}=tanu\)

\(\Rightarrow\dfrac{2}{\sqrt{15}}dx=\dfrac{du}{cos^2u}\Rightarrow dx=\dfrac{\sqrt{15}}{2}.\dfrac{du}{cos^2u}\)

\(I=\dfrac{4}{5}\int\dfrac{1}{tan^2u+1}.\dfrac{\sqrt{15}}{2}.\dfrac{du}{cos^2u}=\dfrac{2\sqrt{15}}{5}\int du\)

\(=\dfrac{2\sqrt{15}}{5}u+C\)

\(=\dfrac{2\sqrt{15}}{5}.arctan\left(\dfrac{2x-3}{\sqrt{15}}\right)+C\)

\(=\dfrac{1}{2}\int\dfrac{2x-4}{x^2-4x-5}dx=\dfrac{1}{2}\int\dfrac{d\left(x^2-4x-5\right)}{x^2-4x-5}dx\)

\(=\dfrac{1}{2}ln\left|x^2-4x-5\right|+C\)

\(=2\int\dfrac{2x-2}{x^2-2x-10}dx=2\int\dfrac{d\left(x^2-2x-10\right)}{x^2-2x-10}dx\)

\(=2ln\left|x^2-2x-10\right|+C\)

\(\int\dfrac{2x-3}{x^2-3x+6}dx=\int\dfrac{d\left(x^2-3x+6\right)}{x^2-3x+6}=ln\left|x^2-3x+6\right|+C\)

\(\int\dfrac{4x}{\left(2x-3\right)^2}dx=\int\dfrac{2\left(2x-3\right)+6}{\left(2x-3\right)^2}dx\)

\(=\int\left(\dfrac{2}{2x-3}+\dfrac{6}{\left(2x-3\right)^2}\right)dx\)

\(=ln\left|2x-3\right|-\dfrac{3}{2x-3}+C\)

\(\int\dfrac{x+3}{4-x^2}dx=\int\dfrac{-x-3}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}dx=\dfrac{1}{4}\int\dfrac{-4x-12}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}dx\)

\(=\dfrac{1}{4}\int\left(\dfrac{\left(x-2\right)-5\left(x+2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\right)dx\)

\(=\dfrac{1}{4}\int\left(\dfrac{1}{x+2}-\dfrac{5}{x-2}\right)dx\)

\(=\dfrac{1}{4}ln\left|x+2\right|-\dfrac{5}{4}ln\left|x-2\right|+C\)

\(=\int\dfrac{2x-13}{\left(x+1\right)\left(x-2\right)}dx=\int\left(\dfrac{5\left(x-2\right)-3\left(x+1\right)}{\left(x+1\right)\left(x-2\right)}\right)dx\)

\(=\int\left(\dfrac{5}{x+1}-\dfrac{3}{x-2}\right)dx\)

\(=5ln\left|x+1\right|-3ln\left|x-2\right|+C\)

\(\int\dfrac{1}{x^2-4x+3}dx=\int\dfrac{1}{\left(x-1\right)\left(x-3\right)}dx=\dfrac{1}{2}\int\dfrac{2}{\left(x-1\right)\left(x-3\right)}dx\)

\(=\dfrac{1}{2}\int\left(\dfrac{1}{x-3}-\dfrac{1}{x-1}\right)dx\)

\(=\dfrac{1}{2}\left(ln\left|x-3\right|-ln\left|x-1\right|\right)+C\)

\(=\dfrac{1}{2}ln\left|\dfrac{x-3}{x-1}\right|+C\)

\(g'\left(x\right)=f'\left(x\right)-\left(x+1\right)=0\Rightarrow f'\left(x\right)=x+1\)

Vẽ \(y=x+1\) lên cùng hệ trục thấy pt có 3 nghiệm \(x=-3;1;3\)

\(g\left(1\right)=f\left(1\right)-2=4\)

\(g\left(-3\right)=f\left(-3\right)-2\)

\(g\left(3\right)=f\left(3\right)-8\)

Đến đây vấn đề là cần xác định dấu của \(g\left(-3\right)\) và \(g\left(3\right)\)

Từ đồ thị thấy diện tích phần giới hạn bởi \(f'\left(x\right)\) và trục Ox từ đoạn \(x=1\) đến \(x=3\) lớn hơn 3 đơn vị (có ít nhất là 3 ô vuông)

\(\Rightarrow\int\limits^3_1f'\left(x\right)dx>3\Rightarrow f\left(3\right)-f\left(1\right)>3\Rightarrow f\left(3\right)>9\)

\(\Rightarrow g\left(3\right)>1>0\)

Phần diện tích giới hạn bởi \(f'\left(x\right)\) và Ox từ \(x=-3\) đến \(x=1\) lớn hơn 6 đơn vị (lớn hơn khá nhiều, đếm được 7 ô vuông trọn vẹn - chú ý là phần nằm dưới trục Ox cần trừ đi, nhưng đoạn này khá nhỏ)

\(\Rightarrow f\left(1\right)-f\left(-3\right)>6\Rightarrow f\left(-3\right)< 0\) \(\Rightarrow g\left(-3\right)=f\left(-3\right)-2< 0\)

Do đó \(g\left(x\right)=0\) có đúng 1 nghiệm

Ủa hình như bài này bạn hỏi rồi, nhìn quen lắm

\(u=3-3\sqrt{-9x^2+30x-21}\)

\(u\in\left[-3;3\right]\Rightarrow f\left(u\right)\in\left[-5;1^+\right]\) (cận trên lớn hơn 1 chút xíu)

\(\Rightarrow-5\le\dfrac{m-2019}{2}\le1^+\)

\(\Rightarrow-10\le m-2019\le2^+\)

Có 13 giá trị nguyên