cho hình bình hànhABCD .trên các cạnh ABvà CD lần luotj lấy các điêm e vaF sao cho AE=CF. trên các cạnh AD và BC lần lượt lấy các điểm Mvà N sao cho AM=CN .
a, các tứ giác AECF , MENF là những hình gì ?
b, chứng minh rằng các đường thưởng AC,BD,MN đồng quy
c, nếu ABCD là hình vuông và AE=CF=AB:2 và AM=CN=AD :2 thì tứ giác MENF là hình gì
a: Xét tứ giác AECF có
AE//CF
AE=CF
Do đó: AECF là hình bình hành
Xét ΔAME và ΔCNF có
AM=CN
\(\widehat{MAE}=\widehat{NCF}\)
AE=CF
Do đó: ΔAME=ΔCNF
Suy ra: ME=NF
Xét ΔBEN và ΔDFM có
BE=DF
\(\widehat{EBN}=\widehat{FDM}\)
BN=DM
Do đó: ΔBEN=ΔDFM
Suy ra: NE=MF
Xét tứ giác MENF có
ME=NF
NE=MF
Do đó: MENF là hình bình hành
b: Ta có:MENF là hình bình hành
nên Hai đường chéo MN và EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường(1)
Ta có: ABCD là hình bình hành
nên Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường(2)
Ta có: AECF là hình bình hành
nên Hai đường chéo AC và FE cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường(3)
Từ (1), (2)và (3) suy ra AC,BD,MN đồg quy
Cho tam giác ABC , trung tuyến AM , ME // AC , MF // AB.Chứng minh :
a) Tứ giác AEMF là hình gì ? Vì sao?
b) Tam giac ABC thoả mãn điều kiện gì thì tứ giác AEMF là Hình chữ nhật
c) Tam giác ABC vuông cân ở A thì AEMF là hình gì
Bạn vẽ hình sau đó dễ dàng nhận thấy:
EM // AC; BM = MC nên EM là đường trung bình của tam giác BAC
Suy ra EM = \(\dfrac{1}{2}\) AC = AF = FC . Bạn chứng minh tương tự được MF = \(\dfrac{1}{2}\)AB = AE = BE.
Đồng thời theo đề bài MF // EA và EM // AF
Qua các chứng minh ta được: MF // EA và AE = MF ; EM // AF và EM = AF. Vậy EAMF là hình thoi.
Mình nhầm câu a là hình bình hành.
b. Mình chỉ làm cho bạn tham khảo còn bạn tự trình bày nhé:
Theo dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật thì hình bình hành có 1 góc vuông là hình chữ nhật mà tứ giác AEMF đã là hình bình hành nên góc A phải bằng 90 độ hay tam giác ABC vuông tại A.
c. Tại câu b ta đã chứng minh tứ giác AEMF là hình chữ nhật nên chỉ cần tứ giác có 2 cạnh kề bằng nhau là hình vuông. Vậy nếu tam giác ABC vuông cân tại A thì AB = AC hay \(\dfrac{1}{2}\)AB = \(\dfrac{1}{2}\)AC. Suy ra AE = EF. Qua đó ta chứng minh được nếu tam giác ABC vuông cân tại A thì tứ giác AEFM là hình vuông.
Cho hình vuông ABCD, M là trung điểm cạnh AB , P là giao điểm của hai tia CM và DA.
- Chứng minh tứ giác APBC là hình bình hành,tứ giác BCDP là hình thang vuông?
- Chứng minh 2SBCDP = 3SAPBC
- Gọi N là trung điểm BC. Q là giao điểm của DN và CM. Chứng minh AQ = AB.
✱)
*Vì ABCD là hình vuông
=> +∠A=∠B=∠C=∠D=90o
+ BC//AD =>PD//BC
+ AB=BC=CD=AD (4)
* M là trung điểm của AB (1)
=>MA=MB
*Xét ΔPAM và ΔCBM
∠A=∠D=90o (cmt)
MA=MB(cmt)
∠PMA=∠CMB(đối đỉnh)
=>ΔPAM=ΔCBM (g.c.g)
=>PM=CM(2 cạnh tương ứng)
VÀ PA=BC (3)
=>M là trung điểm của PC (2)
* Từ (1) và (2)
=>APBC là hình bình hành ( tứ giác có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường ) (đpcm)
* Xét tứ giác BCDP có
PD//BC (cmt)
=> BCDP là hình thang
mà ∠D=90o
=>BCDP là hình thang vuông (đpcm)
✱)Từ (3)và (4)
=>AB=BC=CD=DA=PA
*S BCDP= \(\dfrac{\left(BC+PD\right).DC}{2}\)
=>2S BCDP=\(\dfrac{2\left(BC+PD\right).DC}{2}=\left(BC+PD\right).DC\)
=>2SBCDP=(BC+AD+AP).DC
MÀ BC=AD=AP=DC (cmt)
=>2SBCDP=3BC.BC=3BC2
*SAPBC=BC.CD
=> 3SAPBC=3BC.CD=3BC2
TA CÓ 2SBCDP=3BC2
3SAPBC=3BC2
=>2SBCDP=3SAPBC (đpcm)
Cho ba số a,b,c thỏa mãn 0<=a,b,c<=1 và a+b+c=2. Chứng minh rằng a^2+b^2+c^2<=2
Vì \(0\le x,y,z\le1\) nên ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}x^2\le x\\y^2\le y\\z^2\le z\end{matrix}\right.\Rightarrow x^2+y^2+z^2\le x+y+z=2\)
Cho tam giác ABC .Trên 2 cạnh AB và AC lần lượt lấy điểm P và Q tùy ý. Gọi M là trung điểm của BC. Tìm GTLN của S MPQ
cho tam giác ABC(AB=AC) góc BAC =45 độ, AB=6. Lấy K thuộc BC, kẻ KD vuông góc AB, KE vuông góc AC.
a) Tính chu vi, diện tích tam giác ABC.
b) Chứng min khi K chạy trên BC thì KD+KE có giá trị không đổi
Tính thể tích hình hộp chữ nhật. Biết diện tích đáy bằng 12cm2 va chiều cao là 3cm
\(V=abc=12.3=36\left(cm^2\right)\)
Cho ngũ giác ABCDE có góc ABC = góc CDE=90 độ ; BC=CD=AE=1cm và AB+DE=1cm .Cmr:diện tích ABCDE =1cm
1/ a. Chứng minh công thức Hê-rông tính diện tích tam giác theo 3 cạnh a,b,c S=\(\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}\) (p là nửa chu vi)
b. Áp dụng chứng minh rằng nếu \(S=\dfrac{1}{4}\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)\) thì tam giác đó là tam giác vuông
2/ Cho tứ giác ABCD. Lấy \(M,N\in AB\) sao cho AM=MN=NB. Lấy \(E,F\in BC\) sao cho BE=EF=FC. Lấy \(P,Q\in CD\) sao cho CP=PQ=QD. Lấy \(G,H\in AD\) sao cho DG=GH=HA. Gọi A',B' là giao điểm của MQ và NP với EH, C',D' là giao điểm của MQ và NP với FG. Chứng minh rằng
a. \(S_{MNPQ}=\dfrac{1}{3}S_{ABCD}\) b. \(S_{A'B'C'D'}=\dfrac{1}{9}S_{ABCD}\)
3/ Lấy M tùy ý nằm trong tam giác ABC. Gọi D,E,F là hình chiếu của M trên BC,AC,AB. Đặt BC=a,AC=b,AB=c,MD=x,ME=y,MF=z. Chứng minh rằng
a. ax+by+cz=2S (S=Sabc)
b. \(\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{y}+\dfrac{c}{z}\ge\dfrac{2p^2}{S}\) (\(p=\dfrac{a+b+c}{2}\) )
Cho tam giác ABC nhọn có góc B=45o , đường cao AH=6cm, HC=4cm. Tính diện tích tam giác ABC
