Question

Cho hình vuông ABCD, M là trung điểm cạnh AB , P là giao điểm của hai tia CM và DA.

- Chứng minh tứ giác APBC là hình bình hành,tứ giác BCDP là hình thang vuông?

- Chứng minh 2S_BCDP = 3S_APBC

- Gọi N là trung điểm BC. Q là giao điểm của DN và CM. Chứng minh AQ = AB.

Answer 1

✱)

*Vì ABCD là hình vuông

=> +∠A=∠B=∠C=∠D=90^o

+ BC//AD =>PD//BC

+ AB=BC=CD=AD (4)

* M là trung điểm của AB (1)

=>MA=MB

*Xét ΔPAM và ΔCBM

∠A=∠D=90^o (cmt)

MA=MB(cmt)

∠PMA=∠CMB(đối đỉnh)

=>ΔPAM=ΔCBM (g.c.g)

=>PM=CM(2 cạnh tương ứng)

VÀ PA=BC (3)

=>M là trung điểm của PC (2)

* Từ (1) và (2)

=>APBC là hình bình hành ( tứ giác có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường ) (đpcm)

* Xét tứ giác BCDP có

PD//BC (cmt)

=> BCDP là hình thang

mà ∠D=90^o

=>BCDP là hình thang vuông (đpcm)

✱)Từ (3)và (4)

=>AB=BC=CD=DA=PA

*S _BCDP= \(\dfrac{\left(BC+PD\right).DC}{2}\)

=>2S _BCDP=\(\dfrac{2\left(BC+PD\right).DC}{2}=\left(BC+PD\right).DC\)

=>2S_BCDP=(BC+AD+AP).DC

MÀ BC=AD=AP=DC (cmt)

=>2S_BCDP=3BC.BC=3BC²

*S_APBC=BC.CD

=> 3S_APBC=3BC.CD=3BC²

TA CÓ 2S_BCDP=3BC²

3S_APBC=3BC²

=>2S_BCDP=3S_APBC (đpcm)