Ôn tập chương II - Đa giác. Diện tích đa giác

Lời giải:

a) Vì $FN\parallel AC$ nên áp dụng định lý Talet:

\(\frac{NC}{NB}=\frac{FA}{FB}=\frac{DB}{DC}\)

Nếu $NB=DC$ thì do $MB=MC$ nên $MB-NB=MC-DC$

$\Leftrightarrow MN=MD$ nên $M$ là trung điểm $DN$.

Nếu $NB\neq DC$ thì áp dụng TCDTSBN: $\frac{NC}{NB}=\frac{DB}{DC}=\frac{NC-DB}{NB-DC}=\frac{DC-NB}{NB-DC}=-1< 0$ (vô lý)

Vậy ta có đpcm. 

b) 

Vì $M$ là trung điểm $DN$, $P$ là trung điểm $DF$ nên $MP$ là đtb ứng với cạnh $FN$

$\Rightarrow MP\parallel FN$ và $MP=\frac{1}{2}FN(1)$ 

Mặt khác:

$FN\parallel AC\Rightarrow FN\parallel AE(2)$

$\frac{NC}{NB}=\frac{FA}{FB}=\frac{EC}{EA}$ nên theo Talet đảo thì $EN\parallel AB$ hay $EN\parallel AF(3)$

Từ $(2); (3)$ suy ra $AENF$ là hình bình hành nên $AE=FN(4)$

Từ $(1); (2);(4)$ suy ra $MP\parallel AE$ và $MP=\frac{1}{2}AE$ (đpcm)

c) Gọi $G$ là giao điểm $AM$ và $EP$. Theo định lý Talet:

$\frac{AG}{GM}=\frac{EG}{GP}=\frac{AE}{MP}=2$

$\Rightarrow \frac{AG}{AM}=\frac{EG}{EP}=\frac{2}{3}$

Do đó $G$ chính là trọng tâm của $ABC$ và $DEF$. Ta có đpcm. 

Hình vẽ:

a, \(S_{ABCD}\) = AH.CD

                = 3.4

                = 12 (\(cm^2\))

b, Ta có M là trung điểm AB

⇒ AM = \(\dfrac{AB}{2}\) = \(\dfrac{4}{2}\) = 2 (cm)

\(S_{ADM}\) = \(\dfrac{AH.AM}{2}\)

           = \(\dfrac{3.2}{2}\)

           = 3 (\(cm^2\))

c, Gọi O là trung điểm

c, Gọi O là trung điểm ND

Từ O kẻ OP // CD

Xét ΔNDC có: NO = OD 

                       OP // CD

⇒ OP là đường trung bình ΔNDC

⇒ OP = \(\dfrac{1}{2}DC\) mà DC = 4 cm

⇒ OP = 2 cm

Xét ΔAMN và ΔPON có:

Góc BAC = góc APO

Góc MOP = góc AMD

AM = ON

⇒ ΔAMN = ΔPON (g.c.g)

⇒ NM = ON mà ON = \(\dfrac{1}{2}DM\) 

⇒ DN = 2MN

Chắc đề là BM=2 cm?

Áp dụng định lý phân giác:

\(\dfrac{BM}{AB}=\dfrac{CM}{AC}\Rightarrow CM=\dfrac{BM.AC}{AB}=\dfrac{2.6}{4}=3\)

\(S_{ABCD}=AB.AD=48\Rightarrow S_{BCDE}=30\)

\(S_{BCDE}=\dfrac{1}{2}CD.\left(ED+BC\right)=\dfrac{1}{2}.6.\left(8-x+8\right)=30\)

\(\Rightarrow x=6\)

a) Áp dụng định lí Pytago vào ΔABC vuông tại A, ta được:

\(BC^2=AB^2+AC^2\)

\(\Leftrightarrow BC^2=8^2+15^2=289\)

hay BC=17(cm)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:

\(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

\(\Leftrightarrow AH\cdot17=8\cdot15=120\)

hay \(AH=\dfrac{120}{17}cm\)

Áp dụng định lí Pytago vào ΔAHB vuông tại H, ta được:

\(AB^2=AH^2+BH^2\)

\(\Leftrightarrow BH^2=AB^2-AH^2=8^2-\left(\dfrac{120}{17}\right)^2=\dfrac{4096}{289}\)

hay \(BH=\dfrac{64}{17}cm\)

Vậy: BC=17cm; \(AH=\dfrac{120}{17}cm\); \(BH=\dfrac{64}{17}cm\)

b) Xét tứ giác AMHN có

\(\widehat{NAM}=90^0\)(\(\widehat{BAC}=90^0\), M∈AB, N∈AC)

\(\widehat{ANH}=90^0\)(HN⊥AC)

\(\widehat{AMH}=90^0\)(HM⊥AB)

Do đó: AMHN là hình chữ nhật(Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)

⇔AH=MN(Hai đường chéo của hình chữ nhật AMHN)

mà \(AH=\dfrac{120}{17}cm\)(cmt)

nên \(MN=\dfrac{120}{17}cm\)

Vậy: \(MN=\dfrac{120}{17}cm\)

c) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔAHB vuông tại H có HM là đường cao ứng với cạnh huyền AB, ta được:

\(AM\cdot AB=AH^2\)(1)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔAHC vuông tại H, có HN là đường cao ứng với cạnh huyền AC, ta được:

\(AN\cdot AC=AH^2\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(AM\cdot AB=AN\cdot AC\)(đpcm)

đường trung tuyến AM

Ta có: S tg ABM =1/2 BM.AH

          S tg ACM =1/2 CM.AH

Mà BM =CM(AM là đường trung tuyến )

Suy ra: Diện tích ABM= diện tích ACM.