Cho 2 số dương a,b thỏa mãn: \((a+b)(a+b-1)=a^2+b^2\) . Tính GTLN của biểu thức:
\(Q=\frac{1}{a^4+b^2+2ab^2}+\frac{1}{b^4+a^2+2a^2b}\)
Ôn tập chương Hình trụ, Hình nón, Hình cầu
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(a^4+b^2+2ab^2\ge2\sqrt{a^4b^2}+2ab^2=2a^2b+2ab^2\)
\(b^4+a^2+2a^2b\ge2\sqrt{a^2b^4}+2a^2b=2ab^2+2a^2b\)
\(\Rightarrow Q\le\dfrac{1}{2a^2b+2ab^2}+\dfrac{1}{2ab^2+2a^2b}\)
Lại có: \(\left(a+b\right)\left(a+b-1\right)=a^2+b^2\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab-a+b^2-b=a^2+b^2\)
\(\Leftrightarrow2ab=a+b\ge2\sqrt{ab}\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}ab\ge1\\a+b\ge2\sqrt{ab}\ge2\end{matrix}\right.\)
Khi đó \(Q\le\dfrac{1}{2a^2b+2ab^2}+\dfrac{1}{2ab^2+2a^2b}\le\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=1\)
Đúng 0
Bình luận (0)
cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O. các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. K là điểm đối xứng của H qua BC. Chứng minh K€ (O)
cho tam giác ABC(AB<AC) nhọn nội tiếp (O) có BE và CD là 2 đường cao cắt nhau tại H
K là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ADHE. AH cắt đường tròn tại M, cắt BC tại F.
I là trung điểm của BC.
a)C/m: tứ giác KOIM là hình thang cân
b) gọi P, Q là giao điểm của AH và DE; AN và BC
c/m: PQ song song HN
HELP ME !!!!!!!!
Bài 1:(5 điểm)
Cho đa thức P(x)P(x) thành nhân tử.
b,Chứng minh rằng x∈Zx∈Z
Bài 2:(4 điểm)
a,Chứng minh rằng nếu (x+y+z)(1x+1y+1z)≥9(x+y+z)(1x+1y+1z)≥9
b,Chứng minh rằng nếu 33 thì:
15km15km và nhanh hơn xe thứ ba 1515 phút và đến nhanh hơn xe thứ ba ABCABC cân tại AHAH.Gọi ABAB.Đường vuông góc với II cắt OO.Dựng điểm OO là trung điểm của MM là trung điểm của IMBIMB là tam giác gì?Tại sao?
b,So sánh số đo góc ABCABC và 20122012 cạnh OO nằm trong đa giác.Các cạnh của đa giác được...
Đọc tiếp
HELP ME !!!!!!!!
Bài 1:(5 điểm)
Cho đa thức P(x)P(x) thành nhân tử.
b,Chứng minh rằng x∈Zx∈Z
Bài 2:(4 điểm)
a,Chứng minh rằng nếu (x+y+z)(1x+1y+1z)≥9(x+y+z)(1x+1y+1z)≥9
b,Chứng minh rằng nếu 33 thì:
15km15km và nhanh hơn xe thứ ba 1515 phút và đến nhanh hơn xe thứ ba ABCABC cân tại AHAH.Gọi ABAB.Đường vuông góc với II cắt OO.Dựng điểm OO là trung điểm của MM là trung điểm của IMBIMB là tam giác gì?Tại sao?
b,So sánh số đo góc ABCABC và 20122012 cạnh OO nằm trong đa giác.Các cạnh của đa giác được đánh số đo một cách tùy ý bởi các số OA1;OA2;...;OA2012OA1;OA2;...;OA2012 bằng chính các số trên.Hai cách đánh số này hoàn toàn độc lập với nhau.Hỏi có thể đánh số theo một cách nào đó để cho tất cả các tam giác
cho x,y là số thực không âm
Tìm Max P = \(\frac{\left(x^2-y^2\right)\left(1-x^2y^2\right)}{\left(1+x^2\right)^2\left(1+y^2\right)^2}\)
Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2\ne0\)
CMR \(\sum\limits^{ }_{cyc}\dfrac{a^2-bc}{2a^2+b^2+c^2}\ge0\)
Ta có \(\sum\limits^{ }_{cyc}\dfrac{a^2-bc}{2a^2+b^2+c^2}=\sum\limits^{ }_{cyc}\dfrac{\left(a-c\right)\left(a+b\right)+\left(a-b\right)\left(a+c\right)}{2a^2+b^2+c^2}\)
\(=\sum\limits^{ }_{cyc}\left(a-c\right)\left(\dfrac{a+b}{2a^2+b^2+c^2}-\dfrac{b+c}{2a^2+b^2+c^2}\right)\)
\(=\sum\limits^{ }_{cyc}\dfrac{\left(a-c\right)^2\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)}{\left(2a^2+b^2+c^2\right)\left(2c^2+b^2+a^2\right)}\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho a,b,c là các số thực dương.
CMR \(\left(1+a^3\right)\left(1+b^3\right)\left(1+c^3\right)\ge\left(1+ab^2\right)\left(1+bc^2\right)\left(1+ca^2\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức Holder ta được:
\(\left(1+a^3\right)\left(1+b^3\right)\left(1+b^3\right)\ge\left(1+ab^2\right)^3\)
\(\left(1+b^3\right)\left(1+c^3\right)\left(1+c^3\right)\ge\left(1+bc^2\right)^3\)
\(\left(1+c^3\right)\left(1+a^3\right)\left(1+a^3\right)\ge\left(1+ca^2\right)^3\)
Nhân từng vế của 3 bất đẳng thức trên ta được:
\(\left(1+a^3\right)\left(1+b^3\right)\left(1+c^3\right)\ge\left(1+ab^2\right)\left(1+bc^2\right)\left(1+ca^2\right)\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Giúp em với giải với vẽ hình luôn ạ !
1. Cho tam giác ABC có A là một góc vuông. D là một điểm nằm trên cạnh AB. Đường Tròn đường kính BD cắt BC tại E. Các đường thẳng CD;AE lần lượt cắt đường tròn tại các điểm thứ hai F và G.
a) Chứng minh CAFB nội tiếp
b) Chứng minh AB.EDAC.EB
c) Chứng tỏ AC//FG
d) Chứng minh AC;DE;BF đồng quy
2.Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, d là tiếp tuyến của đường tròn tại A, các tiếp tuyến của đường tròn...
Đọc tiếp
Giúp em với giải với vẽ hình luôn ạ !
1. Cho tam giác ABC có A là một góc vuông. D là một điểm nằm trên cạnh AB. Đường Tròn đường kính BD cắt BC tại E. Các đường thẳng CD;AE lần lượt cắt đường tròn tại các điểm thứ hai F và G.
a) Chứng minh CAFB nội tiếp
b) Chứng minh AB.ED=AC.EB
c) Chứng tỏ AC//FG
d) Chứng minh AC;DE;BF đồng quy
2.Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, d là tiếp tuyến của đường tròn tại A, các tiếp tuyến của đường tròn tại B và C lần lượt cắt d theo thứ tự ở D và E.
Chứng minh rằng:
a) Tam giác DOE vuông
b) DE = BD + CE
c) BD . CE = R2 ( R là bán kính của (O) )
d) BC là tiếp tuyến của đường tròn đường kính DE.
giúp mình với!
\(\Delta\)'=(-(3m+1))2-2m2+2m+19
=9m2+6m+1-2m2+2m+19
=7m2+8m+20
=3m2+(4m2+8m+4)+16
=3m2+(2m+2)2+16>0\(\forall\)m
=>phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
Đúng 0
Bình luận (0)
Câu 1: Một mảnh đất dạng hình chữ nhật ABCD có chiều dài 80m và chiều rộng 60m. Hỏi một người muốn đi từ góc B đến góc D thì đi theo đường nào là ngắn nhất và độ dài đường đó là bao nhiêu mét?
Câu 2: Cho tam giác ABC nhọn và cân tại A, đường cao AH (H thuộc BC). a/ Hai tam giác ABH và ACH có bằng nhau không? Vì sao?...
Đọc tiếp
Câu 1: Một mảnh đất dạng hình chữ nhật ABCD có chiều dài 80m và chiều rộng 60m. Hỏi một người muốn đi từ góc B đến góc D thì đi theo đường nào là ngắn nhất và độ dài đường đó là bao nhiêu mét?
Câu 2: Cho tam giác ABC nhọn và cân tại A, đường cao AH (H thuộc BC). a/ Hai tam giác ABH và ACH có bằng nhau không? Vì sao? b/ Tia AH có phải là tia phân giác của góc BAC không? Vì sao? c/ Kẻ tia phân giác BK (K thuộc AC) của góc ABC. Gọi O là giao điểm của AH và BK. Chứng minh rằng CO là tia phân giác của góc ACB
Câu 2:
a: Xét ΔABH vuông tại H và ΔACH vuông tại H có
AB=AC
AH chung
Do đó: ΔABH=ΔACH
b: Ta có: ΔABC cân tại A
mà AH là đường cao
nên AH là tia phân giác của góc BAC
c: Xét ΔBAC có
AH là phân giác
BK là phân giác
AH cắt BK tại O
Do đó: O là tâm đường tròn nội tiếp
=>CO là phân giác của góc ACB
Đúng 0
Bình luận (0)