Question

Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2\ne0\)

CMR \(\sum\limits^{ }_{cyc}\dfrac{a^2-bc}{2a^2+b^2+c^2}\ge0\)

Answer 1

Ta có \(\sum\limits^{ }_{cyc}\dfrac{a^2-bc}{2a^2+b^2+c^2}=\sum\limits^{ }_{cyc}\dfrac{\left(a-c\right)\left(a+b\right)+\left(a-b\right)\left(a+c\right)}{2a^2+b^2+c^2}\)

\(=\sum\limits^{ }_{cyc}\left(a-c\right)\left(\dfrac{a+b}{2a^2+b^2+c^2}-\dfrac{b+c}{2a^2+b^2+c^2}\right)\)

\(=\sum\limits^{ }_{cyc}\dfrac{\left(a-c\right)^2\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)}{\left(2a^2+b^2+c^2\right)\left(2c^2+b^2+a^2\right)}\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c\)