Bài 5c.: Tương giao hai đồ thị. Biện luận số nghiệm phương trình. - Hỏi đáp

Hàm trùng phương có hệ số \(a>0\) ko có điểm chung với trục hoành khi và chỉ khi \(y_{CT}>0\)

\(y'=4x^3-4mx=0\Leftrightarrow4x\left(x^2-m\right)=0\)

TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}m\le0\\y_{CT}=y\left(0\right)>0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\le0\\m^3-m^2>0\end{matrix}\right.\) (ko tồn tại m thỏa mãn)

TH2: \(m>0\Rightarrow y_{CT}=y\left(\sqrt{m}\right)=y\left(-\sqrt{m}\right)=m^3-2m^2>0\)

\(\Leftrightarrow m^2\left(m-2\right)>0\Rightarrow m>2\)

Có 2016 giá trị nguyên của m thỏa mãn

- Với \(m=0\) ko thỏa mãn

- Với \(m\ne0\) đồ thị hàm số cắt \(y=3\) tại duy nhất 1 điểm khi và chỉ khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}-m\left(m+2\right)\ge0\\y\left(0\right)=3\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-2\le m< 0\\2m^2-m-3=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow m=-1\)

Để ĐTHS cắt \(y=5\) tại 3 điểm pb thì trước hết hàm số phải có 3 cực trị

\(\Leftrightarrow-2m\left(m-1\right)< 0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m>1\\m< 0\end{matrix}\right.\)

\(y'=4mx^3-4\left(m-1\right)x=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x^2=\frac{m-1}{m}\end{matrix}\right.\)

TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}m>1\\y_{CĐ}=y\left(0\right)=5\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>1\\2m^2-3=5\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m=2\)

TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}m< 0\\y_{CT}=y\left(0\right)=5\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 0\\2m^2-3=5\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m=-2\)

Có 2 giá trị m thỏa mãn

Bạn coi lại đề, với đề này thì \(m\in\left(a;1\right)\) trong đó a là 1 nghiệm xấu của pt bậc 3 (ko giải được với chương trình phổ thông)

ĐKXĐ: ...

Bình phương 2 vế:

\(\frac{x^2}{x^2-1}+x^2+\frac{2x^2}{\sqrt{x^2-1}}=15\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^4}{x^2-1}+\frac{2x^2}{\sqrt{x^2-1}}-15=0\)

Đặt \(\frac{x^2}{\sqrt{x^2-1}}=a>0\) ta được:

\(a^2+2a-15=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=3\\a=-5\left(l\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\frac{x^2}{\sqrt{x^2-1}}=3\Leftrightarrow x^4=9\left(x^2-1\right)\)

\(\Leftrightarrow x^4-9x^2+9=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2=\frac{9+3\sqrt{5}}{2}\\x^2=\frac{9-3\sqrt{5}}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\sqrt{\frac{9+3\sqrt{5}}{2}}=\frac{\sqrt{15}+\sqrt{3}}{2}\\x=\sqrt{\frac{9-3\sqrt{5}}{2}}=\frac{\sqrt{15}-\sqrt{3}}{2}\end{matrix}\right.\)

Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left(C_m\right)\) và đường thẳng y = -1 là :

\(x^4-\left(3m+2\right)x^2+3m=-1\Leftrightarrow\left(x^2-1\right)\left(x^2-3m-1\right)=0\)

Đường thẳng y = -1 cắt  \(\left(C_m\right)\) tại 4 điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 2 khi và chỉ khi :

\(0 < 3m+1 < 4\) và \(3m+1\ne1\)

\(\Leftrightarrow\)\(-\frac{1}{3}< m\)< 1 và \(m\ne0\)

ĐKXĐ: \(x\ne-2\)

Phương trình hoành độ giao điểm:

\(x-2=\frac{2x^2+x-4}{x+2}\)

\(\Leftrightarrow x^2-4=2x^2+x-4\)

\(\Leftrightarrow x^2+x=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=-1\end{matrix}\right.\)

d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt

Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng và đồ thị hàm số

Vậy đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt \(A\left(0;-2\right),B\left(-1,-3\right)\)

Đáp án : B