Cho hàm số (C): f(x) = ax4 + bx2 + c có bảng biến thiên như bảng dưới đây. Với giá trị nào của tham số m thì phương trình f(x) = m-1 có 4 nghiệm phân biệt?
x | -∞ -1 0 1 +∞ |
y' | - 0 + 0 - 0 + |
y | +∞ -2 0 2 +∞ |
Cho hàm số (C): f(x) = ax4 + bx2 + c có bảng biến thiên như bảng dưới đây. Với giá trị nào của tham số m thì phương trình f(x) = m-1 có 4 nghiệm phân biệt?
x | -∞ -1 0 1 +∞ |
y' | - 0 + 0 - 0 + |
y | +∞ -2 0 2 +∞ |
\(f\left(x\right)=m-1\) có 4 nghiệm pb
\(\Leftrightarrow-2< m-1< 0\)
\(\Leftrightarrow-1< m< 1\)
Pt hoành độ giao điểm:
\(x^4+mx^2-1=m\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-1\right)\left(x^2+1\right)+m\left(x^2-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-1\right)\left(x^2+m+1\right)=0\)
Pt có 4 nghiệm pb \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m+1< 0\\m+1\ne-1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< -1\\m\ne-2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m=\left\{-3;-4\right\}\)
\(M\left(0;m\right)\Rightarrow OM=\left|m\right|=5\)
\(\Rightarrow m=\pm5\)
Pt hoành độ giao điểm:
\(-x^4-\left(2m-1\right)x^2+2m-1=x^2-2\)
\(\Leftrightarrow x^4+2mx^2-2m-1=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-1\right)\left(x^2+1\right)+2m\left(x^2-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-1\right)\left(x^2+1+2m\right)=0\)
(C) và (P) có 3 điểm chung khi và chỉ khi \(1+2m=0\)
\(\Leftrightarrow m=-\frac{1}{2}\)
Pt hoành độ giao điểm:
\(x^4+2\left(m-2\right)x^2+4=0\)
Đặt \(x^2=t\ge0\Rightarrow t^2+2\left(m-2\right)t+4=0\) (1)
\(\left(C_m\right)\) cắt Ox tại 4 điểm pb \(\Leftrightarrow\left(1\right)\) có 2 nghiệm dương pb
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta'=\left(m-2\right)^2-4>0\\t_1+t_2=2\left(2-m\right)>0\\t_1t_2=4>0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2-4m>0\\m< 2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow m< 0\)
Pt hoành độ giao điểm: \(x^4-2\left(2m+1\right)x^2+4m^2=0\)
Đặt \(x^2=t\ge0\Leftrightarrow t^2-2\left(2m+1\right)t+4m^2=0\) (1)
ĐTHS cắt trục hoành tại 4 điểm pb \(\Leftrightarrow\left(1\right)\) có 2 nghiệm dương pb
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta'=\left(2m+1\right)^2-4m^2>0\\t_1+t_2=2\left(2m+1\right)>0\\t_1t_2=4m^2>0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4m+1>0\\2m+1>0\\m\ne0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>-\frac{1}{4}\\m\ne0\end{matrix}\right.\)
Pt hoành độ giao điểm:
\(x^4-\left(m^2+10\right)x^2=-9\)
\(\Leftrightarrow x^4-\left(m^2+10\right)x^2+9=0\)
Đặt \(x^2=t>0\Rightarrow t^2-\left(m^2+10\right)x^2+9=0\) (1)
(1) có 2 nghiệm dương pb \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta=\left(m^2+10\right)^2-36>0\\t_1+t_2=m^2=10>0\\t_1t_2=9>0\end{matrix}\right.\) (luôn đúng)
Vậy đường thẳng và đồ thị cắt nhau tại 4 điểm pb với mọi m
Pt hoành độ giao điểm:
\(x^4-\left(1+9m^2\right)x^2+9m^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-1\right)\left(x^2+1\right)-\left(9m^2+1\right)\left(x^2-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-1\right)\left(x^2-9m^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\pm1\\x=\pm3m\end{matrix}\right.\)
Để ĐTHS cắt trục hoành tại 4 điểm pb \(\Leftrightarrow m\ne\pm\frac{1}{3}\)
Nếu \(m=m_0\) thỏa mãn thì \(m=-m_0\) cũng thỏa mãn nên ta chỉ cần xét với \(m\ge0\)
TH1: \(\frac{-3m+1}{2}=-1\Leftrightarrow m=1\)
TH2: \(\frac{-1+3m}{2}=-3m\Leftrightarrow m=\frac{1}{9}\)
Vậy \(m=\left\{\pm1;\pm\frac{1}{9}\right\}\)
Pt hoành độ giao điểm:
\(-x^4+\left(m+2\right)x^2+x+m=mx^2+x-1\)
\(\Leftrightarrow x^4-2x^2-1=m\)
Từ BBT ta thấy để \(y=m\) cắt \(y=x^4-2x^2-1\) tại 4 điểm pb
\(\Rightarrow-2< m< -1\)
Pt hoành độ giao điểm:
\(x^4-\left(3m+2\right)x^2+3m=-1\)
\(\Leftrightarrow x^4-1-\left(3m+2\right)x^2+3m+2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-1\right)\left(x^2+1\right)-\left(3m+2\right)\left(x^2-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-1\right)\left(x^2-3m-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2=1\\x^2=3m+1\end{matrix}\right.\)
Để bài toán thỏa mãn \(\Leftrightarrow3m+1>\frac{1}{4}\)
\(\Leftrightarrow m>-\frac{1}{4}\)