Bài 5c.: Tương giao hai đồ thị. Biện luận số nghiệm phương trình.

\(f\left(x\right)=m-1\) có 4 nghiệm pb

\(\Leftrightarrow-2< m-1< 0\)

\(\Leftrightarrow-1< m< 1\)

Pt hoành độ giao điểm:

\(x^4+mx^2-1=m\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-1\right)\left(x^2+1\right)+m\left(x^2-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-1\right)\left(x^2+m+1\right)=0\)

Pt có 4 nghiệm pb \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m+1< 0\\m+1\ne-1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< -1\\m\ne-2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m=\left\{-3;-4\right\}\)

\(M\left(0;m\right)\Rightarrow OM=\left|m\right|=5\)

\(\Rightarrow m=\pm5\)

Pt hoành độ giao điểm:

\(-x^4-\left(2m-1\right)x^2+2m-1=x^2-2\)

\(\Leftrightarrow x^4+2mx^2-2m-1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-1\right)\left(x^2+1\right)+2m\left(x^2-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-1\right)\left(x^2+1+2m\right)=0\)

(C) và (P) có 3 điểm chung khi và chỉ khi \(1+2m=0\)

\(\Leftrightarrow m=-\frac{1}{2}\)

Pt hoành độ giao điểm:

\(x^4+2\left(m-2\right)x^2+4=0\)

Đặt \(x^2=t\ge0\Rightarrow t^2+2\left(m-2\right)t+4=0\) (1)

\(\left(C_m\right)\) cắt Ox tại 4 điểm pb \(\Leftrightarrow\left(1\right)\) có 2 nghiệm dương pb

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta'=\left(m-2\right)^2-4>0\\t_1+t_2=2\left(2-m\right)>0\\t_1t_2=4>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2-4m>0\\m< 2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow m< 0\)

Pt hoành độ giao điểm: \(x^4-2\left(2m+1\right)x^2+4m^2=0\)

Đặt \(x^2=t\ge0\Leftrightarrow t^2-2\left(2m+1\right)t+4m^2=0\) (1)

ĐTHS cắt trục hoành tại 4 điểm pb \(\Leftrightarrow\left(1\right)\) có 2 nghiệm dương pb

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta'=\left(2m+1\right)^2-4m^2>0\\t_1+t_2=2\left(2m+1\right)>0\\t_1t_2=4m^2>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4m+1>0\\2m+1>0\\m\ne0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>-\frac{1}{4}\\m\ne0\end{matrix}\right.\)

Pt hoành độ giao điểm:

\(x^4-\left(m^2+10\right)x^2=-9\)

\(\Leftrightarrow x^4-\left(m^2+10\right)x^2+9=0\)

Đặt \(x^2=t>0\Rightarrow t^2-\left(m^2+10\right)x^2+9=0\) (1)

(1) có 2 nghiệm dương pb \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta=\left(m^2+10\right)^2-36>0\\t_1+t_2=m^2=10>0\\t_1t_2=9>0\end{matrix}\right.\) (luôn đúng)

Vậy đường thẳng và đồ thị cắt nhau tại 4 điểm pb với mọi m

Pt hoành độ giao điểm:

\(x^4-\left(1+9m^2\right)x^2+9m^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-1\right)\left(x^2+1\right)-\left(9m^2+1\right)\left(x^2-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-1\right)\left(x^2-9m^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\pm1\\x=\pm3m\end{matrix}\right.\)

Để ĐTHS cắt trục hoành tại 4 điểm pb \(\Leftrightarrow m\ne\pm\frac{1}{3}\)

Nếu \(m=m_0\) thỏa mãn thì \(m=-m_0\) cũng thỏa mãn nên ta chỉ cần xét với \(m\ge0\)

TH1: \(\frac{-3m+1}{2}=-1\Leftrightarrow m=1\)

TH2: \(\frac{-1+3m}{2}=-3m\Leftrightarrow m=\frac{1}{9}\)

Vậy \(m=\left\{\pm1;\pm\frac{1}{9}\right\}\)

Pt hoành độ giao điểm:

\(-x^4+\left(m+2\right)x^2+x+m=mx^2+x-1\)

\(\Leftrightarrow x^4-2x^2-1=m\)

Từ BBT ta thấy để \(y=m\) cắt \(y=x^4-2x^2-1\) tại 4 điểm pb

\(\Rightarrow-2< m< -1\)

Pt hoành độ giao điểm:

\(x^4-\left(3m+2\right)x^2+3m=-1\)

\(\Leftrightarrow x^4-1-\left(3m+2\right)x^2+3m+2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-1\right)\left(x^2+1\right)-\left(3m+2\right)\left(x^2-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-1\right)\left(x^2-3m-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2=1\\x^2=3m+1\end{matrix}\right.\)

Để bài toán thỏa mãn \(\Leftrightarrow3m+1>\frac{1}{4}\)

\(\Leftrightarrow m>-\frac{1}{4}\)