cho a,b,c là các số dương thỏa mãn: a+b+c=1
cmr :\(\dfrac{ab+c}{c+1}+\dfrac{bc+a}{a+1}+\dfrac{ac+b}{b+1}\le1\)
cho a,b,c là các số dương thỏa mãn: a+b+c=1
cmr :\(\dfrac{ab+c}{c+1}+\dfrac{bc+a}{a+1}+\dfrac{ac+b}{b+1}\le1\)
Ta có \(\dfrac{ab+c}{c+1}=\dfrac{ab+c\left(a+b+c\right)}{\left(a+c\right)+\left(b+c\right)}=\dfrac{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}{\left(a+c\right)+\left(b+c\right)}\)
\(\Rightarrow VT=\dfrac{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}{\left(a+c\right)+\left(b+c\right)}+\dfrac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}{\left(a+b\right)+\left(b+c\right)}+\dfrac{\left(a+c\right)\left(a+b\right)}{\left(a+b\right)+\left(a+c\right)}\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}a+c=x\\b+c=y\\a+b=z\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x+y+z=2\)
\(\Rightarrow VT\Leftrightarrow\dfrac{xy}{x+y}+\dfrac{yz}{z+y}+\dfrac{xz}{x+z}\)
Áp dụng bất đẳng thức \(\dfrac{1}{x+y}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{xy}{x+y}\le\dfrac{xy}{4}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)=\dfrac{y}{4}+\dfrac{x}{4}\)
Thiết lập tương tự và thu lại ta có
\(\Rightarrow VT\le\dfrac{2\left(x+y+z\right)}{4}=1\) ( đpcm )
\(\Leftrightarrow\dfrac{ab+c}{c+1}+\dfrac{bc+a}{a+1}+\dfrac{ac+b}{b+1}\le1\)
Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
cho x,y,z >1 và x+y+z=6.
Tìm GTNN của: \(\dfrac{x^2y}{x-1}+\dfrac{y^2z}{y-1}+\dfrac{z^2y}{z-1}\)
Sửa đề:
\(\dfrac{x^2y}{x-1}+\dfrac{y^2z}{y-1}+\dfrac{z^2x}{z-1}=\dfrac{x^2y^2}{xy-y}+\dfrac{y^2z^2}{yz-z}+\dfrac{z^2x^2}{zx-x}\)
\(\ge\dfrac{\left(xy+yz+zx\right)^2}{xy+yz+zx-6}\)
Đặt \(t=xy+yz+zx>x+y+z=6\) thì ta có
\(\dfrac{t^2}{t-6}=24+\dfrac{t^2-24t+144}{t-6}=24+\dfrac{\left(t-12\right)^2}{t-6}\ge24\)
Vậy GTNN là 24 đạt dược khi \(x=y=z=2\)
Cho a,b,c,d,e là các số thực chứng minh rằng:
d) \(\dfrac{a^2+b^2}{2}>=\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2\)
e) \(\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}>=\left(\dfrac{a+b+c}{3}\right)^2\)
d) \(\dfrac{a^2+b^2}{2}\) \(\ge\) \(\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2\)
<=> \(\dfrac{a^2+b^2}{2}\) \(\ge\) \(\dfrac{a^2+2ab+b^2}{4}\)
<=> 4(a2 + b2 ) \(\ge\) 2 ( a2 + 2ab + b2 )
<=> 4a2 + 4b2 \(\ge\) 2a2 + 4ab +2b2
<=> 4a2 + 4b2 - 2a2 - 4ab - 2b2 \(\ge\) 0
<=> 2a2 - 4ab + 2b2 \(\ge\) 0
<=> a2 -2ab +b2 \(\ge\) 0
<=> (a-b)2 \(\ge\) 0 ( luôn đúng)
=> \(\dfrac{a^2+b^2}{2}\) \(\ge\) \(\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2\)
Và dấu bằng xảy ra <=> a = b
e) Làm tương tự nhé! Có gì ko hiểu thì hỏi lại mk! Ok??
Cho x2+y2=52.
Tìm GTLN của |2x+3y|
Áp dụng BĐT BCS, ta có:
\(\left(2x+3y\right)^2\le\left(x^2+y^2\right)\left(2^2+3^2\right)\)
\(\left(2x+3y\right)^2\le52.\left(2^2+3^2\right)\)
\(\left(2x+3y\right)^2\le676\)
\(\left|2x+3y\right|\le26\)
Dấu ''='' xảy ra khi ...................... bận
a^3(b^2-c^2)+b^3(c^2-a^2)+c^3(a^2-b^2) <0
vs a<b<C
1.cho a,b,c là 3 cạnh tam giác
chứng minh ab(a+b-2c)+bc(b+c-2a)+ac(c+a-2b) lớn hơn hoặc = 0
a2b+ab2-2abc +b2c+bc2-2abc+ac2+a2c-2abc
=b(a2-2ac+c2) +a(b2-2bc+c2)+c (a2-2ab+b2)
= b(a-c)2+a(b-c)2+c(a-b)2 vì a,b,c là độ dài ba cạnh tam giác=) a,b,c>0
b(a-c)2\(\ge0\) \(\forall a,b,c\)
a(b-c)2\(\ge0\)\(\forall a,b,c\)
c(a-b)2\(\ge0\forall a,b,c\)
Chứng minh rằng:
Nếu {a>0; b>0 ; x,y \(\in\) R} thì \(\dfrac{x^2}{a}+\dfrac{y^2}{b}\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{a+b}\)
Ta có:\(\dfrac{x^2}{a}+\dfrac{y^2}{b}\) \(\geq\) \(\dfrac{\left(x+y\right)^2}{a+b}\)(1)
\(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{bx^2+ay^2}{ab}\) \(\geq\) \(\dfrac{\left(x+y\right)^2}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\) (a+b)(bx2+ay2) \(\geq\) ab(x+y)2
\(\Leftrightarrow\) abx2+a2y2+b2x2+aby2 \(\geq\) ab(x2+2xy+y2)
\(\Leftrightarrow\) abx2+(ay)2+(bx)2+aby2 \(\geq\) abx2+2abxy+aby2
\(\Leftrightarrow\) abx2+(ay)2+(bx)2+aby2 -abx2-2abxy-aby2 \(\geq\) 0
\(\Leftrightarrow\) (ay)2-2abxy+(bx)2 \(\geq\) 0
\(\Leftrightarrow\) (ay)2-2(ay).(bx)+(bx)2 \(\geq\) 0
\(\Leftrightarrow\) (ay-bx)2 \(\geq\) 0(2)
Ta có BĐT(2) luôn đúng nên suy ra BĐT(1) luôn đúng.
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi x=y=0.
Cho mình sửa dấu =
Dấu= xảy ra khi \(\begin{cases} x=y\\ a=b \end{cases}\)
Cho m<n. Chứng tỏ 2m+1 <2n + 5.
Ta có: m<n nên suy ra:
Nhân cả hai vế của bđt với 2 ta được: 2m<2n
Nhân cả hai vế của bđt với 1 ta được: 2m+1< 2n+1 (1)
Mà 1<5 nên cộng cả hai vế vs 2n ta được: 2n+1< 2n+5 (2)
Theo tính chất bắc cầu, từ (1) và (2) suy ra : 2m+1< 2n+5
dòng thứ 3 sửa lại bn nhé " công cả hai vế của bđt với 1ta được : 2m+1< 2n+1
2m+1<2n+5 (1)
2(n-m)+(5-1) >0(2)
2(n-m)+4>0 (3)
Từ n>m => (n-m)>0
Tổng hai số dương phải dương => (3) đúng --> (2) đúng--> (1) đúng---> đề đúng --> dpcm
BT1: Cho a,b,c>0. CMR: a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)=<3abc
BT2: Cho a,b,c>0. CMR\(\dfrac{a^3}{b^2}+\dfrac{b^3}{c^2}+\dfrac{c^3}{a^2}>=a+b+c\)
BT3: Cho a,b,c>0 thỏa mãn: abc=ab+bc+ca. Chứng minh:
\(\dfrac{1}{a+2b+3c}+\dfrac{1}{b+2c+3a}+\dfrac{1}{c+2a+3b}=< \dfrac{3}{16}\)
GIÚP MÌNH VỚI. MÌNH ĐANG CẦN GẤP.
a) Áp dụng bất đẳng thức Schur với \(r=1\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3+3abc\ge a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2\)
\(\Rightarrow3abc\ge a^2b+ca^2-a^3+ab^2+b^2c-b^3+c^2a+bc^2-c^3\)
\(\Rightarrow3abc\ge a^2\left(b+c-a\right)+b^2\left(a+c-b\right)+c^2\left(a+b-c\right)\) ( đpcm )
Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c\)
b) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz
\(\Rightarrow\dfrac{a^3}{b^2}+b+b\ge3\sqrt[3]{\dfrac{a^3}{b^2}.b^2}=3a\)
Tương tự ta có \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{b^3}{c^2}+c+c\ge3b\\\dfrac{c^3}{a^2}+a+a\ge3c\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\dfrac{a^3}{b^2}+\dfrac{b^3}{c^2}+\dfrac{c^3}{a^2}+2\left(a+b+c\right)\ge3\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{a^3}{b^2}+\dfrac{b^3}{c^2}+\dfrac{c^3}{a^2}\ge a+b+c\) ( đpcm )
Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c\)
c) Ta có \(abc=ab+bc+ca\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1\)
Áp dụng bất đẳng thức \(\dfrac{1}{a+b}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\) với a , b > 0
\(\Rightarrow\dfrac{1}{a+2b+3c}=\dfrac{1}{a+c+2\left(b+c\right)}\le\dfrac{1}{4}\left[\dfrac{1}{a+c}+\dfrac{1}{2\left(b+c\right)}\right]\)
Tương tự ta có \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{b+2c+3a}\le\dfrac{1}{4}\left[\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{2\left(a+c\right)}\right]\\\dfrac{1}{c+2a+3b}\le\dfrac{1}{4}\left[\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{2\left(a+b\right)}\right]\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow VT\le\dfrac{1}{4}\left[\dfrac{3}{2}\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)\right]\)
\(\Rightarrow VT\le\dfrac{3}{8}\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)\) ( 1 )
Áp dụng bất đẳng thức \(\dfrac{1}{a+b}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\) với a , b > 0
\(\Rightarrow\dfrac{1}{a+b}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\)
Tượng tự ta có \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{b+c}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\\\dfrac{1}{c+a}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\dfrac{3}{8}\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)\le\dfrac{3}{8}\left[\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{2}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{2}{c}\right)\right]\)
\(\Rightarrow\dfrac{3}{8}\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)\le\dfrac{3}{8}\left[\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\right]\)
\(\Rightarrow\dfrac{3}{8}\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)\le\dfrac{3}{16}\) ( 2 )
Từ ( 1 ) và ( 2 )
\(\Rightarrow VT\le\dfrac{3}{16}\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{a+2b+3c}+\dfrac{1}{b+2c+3a}+\dfrac{1}{c+2a+3b}\le\dfrac{3}{16}\) ( đpcm )
Câu 2 b sos là ra :D
\(BĐT\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\left(\frac{a^3-ab^2}{b^2}\right)\ge0\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\left(\frac{a\left(a-b\right)\left(a+b\right)}{b^2}-2\left(a-b\right)\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\left(a-b\right)\left(\frac{a^2-b^2+ab-b^2}{b^2}\right)\ge0\)\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\frac{\left(a-b\right)^2\left(a+2b\right)}{b^2}\ge0\)
BĐT cuối cùng đúng nên ta có Q.E.D.
\("="\Leftrightarrow a=b=c\)
Câu 3 có cách khác ạ,nhưng mà sao em thấy nó sai sai,vì dấu "=" không xảy ra!Mong mọi người check giúp ạ!
gt<=> \(abc=ab+bc+ca\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\) (chia hai vế cho abc>0)
Dễ chứng minh \(\frac{1}{36}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}+\frac{1}{e}+\frac{1}{k}\right)\ge\frac{1}{a+b+c+d+e+k}\)
Áp dụng vào,ta có: \(VT\le\frac{6}{36}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=\frac{1}{6}< \frac{3}{16}?!?\)