Bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

\(y'=\dfrac{3}{\left(x+1\right)^2}\Rightarrow\) phương trình tiếp tuyến tại \(M\left(m;\dfrac{m-2}{m+1}\right)\) có dạng:

\(y=\dfrac{3}{\left(m+1\right)^2}\left(x-m\right)+\dfrac{m-2}{m+1}\)

\(\Leftrightarrow3x-\left(m+1\right)^2y+m^2-4m-2=0\)

\(P=d\left(I;d\right)=\dfrac{\left|6m+6\right|}{\sqrt{9+\left(m+1\right)^4}}=\dfrac{6}{\sqrt{\left(m+1\right)^2+\dfrac{9}{\left(m+1\right)^2}}}\le\dfrac{6}{\sqrt{2\sqrt{\dfrac{9\left(m+1\right)^2}{\left(m+1\right)^2}}}}=\sqrt{6}\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:

\(\left(m+1\right)^2=\dfrac{9}{\left(m+1\right)^2}\Leftrightarrow\left(m+1\right)^2=3\Rightarrow m=\) ... lại xấu :)

\(y'=1-\dfrac{1}{\left(x+1\right)^2}=\dfrac{x^2+2x}{\left(x+1\right)^2}\)

Gọi đường thẳng d qua A có dạng: \(y=k\left(x-1\right)-1\)

d là tiếp tuyến của (C) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x^2+x+1}{x+1}=k\left(x-1\right)-1\\\dfrac{x^2+2x}{\left(x+1\right)^2}=k\end{matrix}\right.\) có nghiệm

\(\Rightarrow\dfrac{x^2+x+1}{x+1}=\dfrac{\left(x-1\right)\left(x^2+2x\right)}{\left(x+1\right)^2}-1\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x^2+x+1\right)=\left(x-1\right)\left(x^2+2x\right)-\left(x+1\right)^2\)

\(\Leftrightarrow x^2+3x+1=0\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{-3+\sqrt{5}}{2}\\x_2=\dfrac{-3-\sqrt{5}}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\left(1-\dfrac{1}{\left(x_1+1\right)^2}\right)\left(1-\dfrac{1}{\left(x_2+1\right)^2}\right)=-1\Rightarrow\) hai tiếp tuyến kẻ từ A vuông góc nhau

Không thích tính toán thì từ \(x^2+3x+1=0\Rightarrow x^2+2x=-x-1\) thế vào \(y'=\dfrac{x^2+2x}{\left(x+1\right)^2}=\dfrac{-1}{x+1}\)

Do đó \(k_1k_2=-\dfrac{1}{x_1+1}.\left(-\dfrac{1}{x_2+1}\right)=\dfrac{1}{x_1x_2+x_1+x_2+1}=\dfrac{1}{1-3+1}=-1\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\sqrt[3]{x+1}-\sqrt[]{1-x}}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\sqrt[3]{x+1}-1+1-\sqrt[]{1-x}}{x}\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\dfrac{x}{\sqrt[3]{\left(x+1\right)^2}+\sqrt[3]{x+1}+1}+\dfrac{x}{1+\sqrt[]{1-x}}}{x}\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow0}\left(\dfrac{1}{\sqrt[3]{\left(x+1\right)^2}+\sqrt[3]{x+1}+1}+\dfrac{1}{1+\sqrt[]{1-x}}\right)=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{6}\)

** Hệ số góc

Lời giải:

Bạn chỉ cần nhớ công thức PTTT:

$y=y'(x_0)(x-x_0+y(x_0)$

Gọi $M(x_0,y_0)$ là tiếp điểm:

$y'=3x^2-3=9\Leftrightarrow x=\pm 2$

Nếu $x_0=2\Rightarrow y_0=4$ thì PT tiếp tuyến tại $(2,4)$ là:

$y=9(x-2)+4=9x-14$

Nếu $x_0=-2\Rightarrow y_0=0$. PT tiếp tuyến tuyến tại $(-2,0)$ là:

$y=9(x+2)+0=9x+18$

Giải giúp mình câu này

Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong y = f(x) = x ^ 3 - 3x + 5 biết hệ số tiếp tuyến là 9

2.

\(y'=3x^2-6x\)

Tiếp tuyến song song \(y=-3x+1\Rightarrow\) có hệ số góc -3

\(\Rightarrow3x^2-6x=-3\Rightarrow x=1\) \(\Rightarrow y=0\)

Phương trình: \(y=-3\left(x-1\right)\Leftrightarrow y=-3x+3\)

3.

\(y'=\dfrac{7}{\left(5x-4\right)^2}\)

Tiếp tuyến vuông góc \(y=-2x\Rightarrow\) có hệ số góc \(\dfrac{1}{2}\)

\(\Rightarrow\dfrac{7}{\left(5x-4\right)^2}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{4-\sqrt{14}}{5}\Rightarrow y=\dfrac{4+\sqrt{14}}{10}\\x=\dfrac{4+\sqrt{14}}{5}\Rightarrow y=\dfrac{4-\sqrt{14}}{10}\end{matrix}\right.\)

Phương trình tiếp tuyến: \(\left[{}\begin{matrix}y=\dfrac{1}{2}\left(x-\dfrac{4-\sqrt{14}}{5}\right)+\dfrac{4+\sqrt{14}}{10}\\y=\dfrac{1}{2}\left(x-\dfrac{4+\sqrt{14}}{4}\right)+\dfrac{4-\sqrt{14}}{10}\end{matrix}\right.\)

4.

Câu 4 đề thiếu, điểm M này nằm ở đâu? Trên đồ thị hàm số hay là 1 điểm bất kì?

Do \(f\left(x\right)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\) có 4 nghiệm pb \(x_1;x_2;x_3;x_4\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)=a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)\left(x-x_3\right)\left(x-x_4\right)\)

Ta có:

\(f'\left(x\right)=a\left[\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)\left(x-x_3\right)+\left(x-x_2\right)\left(x-x_3\right)\left(x-x_4\right)+\left(x-x_1\right)\left(x-x_3\right)\left(x-x_4\right)+\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)\left(x-x_4\right)\right]\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}f'\left(x_1\right)=a\left(x_1-x_2\right)\left(x_1-x_3\right)\left(x_1-x_4\right)\\f'\left(x_2\right)=a\left(x_2-x_1\right)\left(x_2-x_3\right)\left(x_2-x_4\right)\\f'\left(x_3\right)=a\left(x_3-x_1\right)\left(x_3-x_2\right)\left(x_3-x_4\right)\\f'\left(x_4\right)=a\left(x_4-x_1\right)\left(x_4-x_2\right)\left(x_4-x_3\right)\end{matrix}\right.\)

Mà tiếp tuyến tại A và B vuông góc \(\Leftrightarrow f'\left(x_1\right).f'\left(x_2\right)=-1\) (1)

Do \(x_1;x_2;x_3;x_4\) lập thành 1 CSC, giả sử công sai của CSC là \(d\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_2=x_1+d\\x_3=x_1+2d\\x_4=x_1+3d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}f'\left(x_1\right)=a.\left(-d\right).\left(-2d\right).\left(-3d\right)=-6ad^3\\f'\left(x_2\right)=a.d.\left(-d\right).\left(-2d\right)=2ad^3\\f'\left(x_3\right)=a.2d.d.\left(-d\right)=-2ad^3\\f'\left(x_4\right)=a.3d.2d.d=6ad^3\end{matrix}\right.\)

Thế vào (1): \(-12a^2d^6=-1\Leftrightarrow12a^2d^6=1\)

\(\Rightarrow f'\left(x_3\right)+f'\left(x_4\right)=4ad^3\)

\(\Rightarrow S=\left(4ad^3\right)^{2020}=\left(16a^2d^6\right)^{1010}=\left(\dfrac{4}{3}.12a^2d^6\right)^{1010}=\left(\dfrac{4}{3}\right)^{1010}\)

Bài gì mà dễ sợ :(

Đầu tiên xác định cụ thể pt (P) ra:

(P) qua điểm \(\left(0;-3\right)\Rightarrow c=-3\)

Từ độ độ đỉnh: \(\left\{{}\begin{matrix}-\dfrac{b}{2a}=2\\\dfrac{4ac-b^2}{4a}=1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=-4a\\-12a-16a^2=4a\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-1\\b=4\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow y=-x^2+4x-3\)

\(\Rightarrow y'=-2x+4\)

Gọi giao điểm của \(d_1;d_2\) là A và giao điểm của \(d_1;d_2\) với Ox lần lượt là B và C \(\Rightarrow\Delta ABC\) vuông cân tại A (\(y'=-2x+4\) nên (P) không thể tồn tại 1 tiếp tuyến vuông góc trục hoành dạng \(x=k\) do đó 2 tiếp tuyến ko bao giờ vuông góc với Ox)

\(\Rightarrow AB\) tạo với trục hoành 1 góc 45 độ

\(\Rightarrow\) Hệ số góc của đường thẳng \(d_1\) là \(k=tan45^0=1\)

\(\Rightarrow y'=-2x+4=1\Rightarrow x=\dfrac{3}{2}\)

\(\Rightarrow y=\dfrac{3}{4}\)

Phương trình \(d_1\): \(y=1\left(x-\dfrac{3}{2}\right)+\dfrac{3}{4}\Leftrightarrow y=x-\dfrac{3}{4}\)