§3. Hàm số bậc hai

\(y=\sqrt{\left(x^2-2x+1\right)+4}=\sqrt{\left(x-1\right)^2+4}\ge\sqrt{4}=2\)

Đẳng thức xảy ra khi x = 1

Vậy min y = 2 khi x = 1

\(x^2-\left(m-2\right)x+m\left(m-3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-\left(m-2\right)x+\left(m^2-3m\right)=0\) (*)

\(\Delta'=\left(m-2\right)^2-\left(m^2-3m\right)\)

\(=m^2-4m+4-m^2+3m\)

\(=4-m\). Để (*) có 2 nghiệm phân biệt suy ra \(\Delta'>0\)

\(\Rightarrow4-m>0\Rightarrow m< 4\)

Vậy với m=4 (*) có 2 nghiệm phân biệt

Khảo sát &vẽ chịu

với giá trị nào ...y=mx+m-1

Phương trình: x^2-4x+3=mx+m-1 phải có 2 nghiệm

\(\Leftrightarrow x^2-\left(m+4\right)x+3-m+1=0\) \(\Delta_x=\left(m+4\right)^2-4\left(4-m\right)>0\)

\(\left(m+4\right)^2+4\left(m+4\right)-32>0\)(*)

\(\Delta'_{m+4}=4+32=36\) Nghiệm (pt) (*) là \(\left[\begin{matrix}\left(m+4\right)=-2-6=-8\\\left(m+4\right)=-2+6=4\end{matrix}\right.\)

Nghiệm BPT(*) \(\Leftrightarrow-8< \left(m+4\right)< 4\Leftrightarrow-12< m< 0\)

Kết luận: Với \(-12< m< 0\) thì...cắt nhau tại hai điểm phân biệt.

Đặt \(x^2-5x+4=A\)

\(A=x^2-5x+4=\left(x^2-2\times x\times\frac{5}{2}+\frac{25}{4}\right)-2,25\)

\(=\left(x-\frac{5}{2}\right)^2-2,25\)

Khi A < 0

\(\Rightarrow\left(x-\frac{5}{2}\right)^2< 2,25\)

\(\Leftrightarrow1< x< 4\)

Vậy khi 1 < x < 4 thì A < 0

660km/h vio...lop7

I là giao điểm của A với trục hoành là sao?

y=x^2 -4x +3

pt có dạng

y=ax^2 +bx +c

đỉnh I(2;-1) => \(\left\{{}\begin{matrix}4a+2b+c=-1\\\left(-\dfrac{b}{2a}\right)=2\end{matrix}\right.\)

qua M(4;3) \(\Rightarrow16a+4b+c=3\)

Hệ

\(\left\{{}\begin{matrix}4a+2b+c=-1\\b=-4a\\16a+4b+c=3\end{matrix}\right.\)

giải hê

\(\left\{{}\begin{matrix}4a-8a+c=-1\\b=-4a\\16a-16a+c=3\end{matrix}\right.\)

\(\left\{{}\begin{matrix}c=3\\a=1\\b=-4\end{matrix}\right.\) => y=x^2-4x+3

Bài 1:

Ta có

\(P=\left (\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)^2-2-\left (\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+1=\left (\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)^2-\left (\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)-1\)

Đặt \(t=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\Rightarrow P=t^2-t-1\)

Đặt \(\frac{a}{b}=m\) suy ra \(t=m+\frac{1}{m}\). Đạo hàm và lập bảng BT suy ra \(t_{\max}=2,t_{\min}=-2\rightarrow t\in [-2;2]\)

Ta có \(P'=2t-1=0\Leftrightarrow t=\frac{1}{2}\)

Mà \(P(2)=1\); \(P(\frac{1}{2})=-\frac{5}{4}\) ;\(P(-2)=5\)

Do đó \(P_{\min}=\frac{-5}{4}\Leftrightarrow t=\frac{1}{2}\)

Bài 2:

Đặt \(P=x^4+y^4-x^2y^2\Leftrightarrow P=(x^2+y^2)^2-3x^2y^2\)

\(\Leftrightarrow P=(x^2+y^2)^2-3(x^2+y^2-1)^2\)

Đặt \(x^2+y^2=t\) thì \(P=t^2-3(t-1)^2=6t-2t^2-3\)

Mặt khác, theo ĐKĐB:

\(x^2+y^2=1+xy\Rightarrow 2(x^2+y^2)=2+2xy\rightarrow x^2+y^2=2-(x-y)^2\leq 2\)

Vì vậy \(t\in (0;2]\) (dễ cm \(t\neq 0\) )

Xét hàm \(P(t)=6t-2t^2-3\). \(P'(t)=6-4t=0\Leftrightarrow t=\frac{3}{2}\)

Lập bảng biến thiên suy ra \(P_{\min}=1\leftrightarrow t=2,P_{\max}=\frac{3}{2}\leftrightarrow t=\frac{3}{2}\)

\(\Rightarrow \frac{1}{9}< 1\leq x^4+t^4-x^2y^2\leq \frac{3}{2}\)

Hoành độ giao điểm của (P) \(y=x^2-3x+2\)và (d)\(y=x+m\) là nghiệm của pt: \(x^2-3x+2=x+m\)

\(\Leftrightarrow x^2-4x+2-m=0\)

\(\Delta'=\left(-2\right)^2-\left(2-m\right)=m+2\)

Để (P) \(y=x^2-3x+2\)và (d) \(y=x+m\) cắt nhau tại hai điểm phân biệt thì\(\Delta'>0\)

\(\Leftrightarrow m+2>0\)

\(\Leftrightarrow m>-2\)

Vậy với \(m>-2\) thì (P) \(y=x^2-3x+2\)và (d) \(y=x+m\) cắt nhau tại hai điểm phân biệt