§3. Hàm số bậc hai

Lời giải:

\(E(1;-2)\in (P)\Rightarrow -2=a+b+c(1)\)

Vì \(y=ax^2+bx+c\) tồn tại min nên \(a\geq 0\)

Khi đó \(y=ax^2+bx+c=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+c-\frac{b^2}{4a}\) \(\geq c-\frac{b^2}{4a}\)

Tức là \(y_{\min}=c-\frac{b^2}{4a}\Leftrightarrow x=\frac{-b}{2a}\)

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} c-\frac{b^2}{4a}=-6\\ \frac{-b}{2a}=-3\end{matrix}\right.(2)\)

Từ \((1),(2)\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=\frac{1}{4}\\ b=\frac{3}{2}\\ c=\frac{-15}{4}\end{matrix}\right.\)

Do đó \(y=\frac{1}{4}x^2+\frac{3}{2}x-\frac{15}{4}\)

Lời giải:

a)

\(A(1,1)\in (p: y=ax^2)\Leftrightarrow 1=a.1^2\Leftrightarrow a=1\)

b) Gọi phương trình đường thằng $d$ là: \(y=kx+b\)

Vì \(A\in (d)\Rightarrow 1=k+b(1)\)

\(M\in Ox\Rightarrow M=(m,0)\)

Mà \(M\in (d)\Rightarrow 0=km+b(2)\)

Từ \((1),(2)\Rightarrow \left\{\begin{matrix} b=\frac{m}{m-1}\\ k=\frac{-1}{m-1}\end{matrix}\right.\). Do đó PTĐT là: \(y=\frac{-x}{m-1}+\frac{m}{m-1}\)

c) PT hoành độ giao điểm của $(d)$ và $(p)$

\(x^2+\frac{x}{m-1}-\frac{m}{m-1}=0\) \((\star)\)

Để 2 đồ thị hàm số có một điểm chung thì \((\star)\) có 1 nghiệm duy nhất. Do đó \(\Delta=\frac{1}{(m-1)^2}+\frac{4m}{m-1}=0\Leftrightarrow 1+4m(m-1)=0\)

\(\Leftrightarrow (2m-1)^2=0\Leftrightarrow m=\frac{1}{2}\)

Vậy \(m=\frac{1}{2}\)