Bài 1:
Ta có
\(P=\left (\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)^2-2-\left (\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+1=\left (\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)^2-\left (\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)-1\)
Đặt \(t=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\Rightarrow P=t^2-t-1\)
Đặt \(\frac{a}{b}=m\) suy ra \(t=m+\frac{1}{m}\). Đạo hàm và lập bảng BT suy ra \(t_{\max}=2,t_{\min}=-2\rightarrow t\in [-2;2]\)
Ta có \(P'=2t-1=0\Leftrightarrow t=\frac{1}{2}\)
Mà \(P(2)=1\); \(P(\frac{1}{2})=-\frac{5}{4}\) ;\(P(-2)=5\)
Do đó \(P_{\min}=\frac{-5}{4}\Leftrightarrow t=\frac{1}{2}\)
Bài 2:
Đặt \(P=x^4+y^4-x^2y^2\Leftrightarrow P=(x^2+y^2)^2-3x^2y^2\)
\(\Leftrightarrow P=(x^2+y^2)^2-3(x^2+y^2-1)^2\)
Đặt \(x^2+y^2=t\) thì \(P=t^2-3(t-1)^2=6t-2t^2-3\)
Mặt khác, theo ĐKĐB:
\(x^2+y^2=1+xy\Rightarrow 2(x^2+y^2)=2+2xy\rightarrow x^2+y^2=2-(x-y)^2\leq 2\)
Vì vậy \(t\in (0;2]\) (dễ cm \(t\neq 0\) )
Xét hàm \(P(t)=6t-2t^2-3\). \(P'(t)=6-4t=0\Leftrightarrow t=\frac{3}{2}\)
Lập bảng biến thiên suy ra \(P_{\min}=1\leftrightarrow t=2,P_{\max}=\frac{3}{2}\leftrightarrow t=\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{9}< 1\leq x^4+t^4-x^2y^2\leq \frac{3}{2}\)
