Question

Xét tính tăng giảm của dãy số `(u_n):`

\(a,\left\{{}\begin{matrix}u_2=2\\u_{n+1}=\sqrt{2u_n+3}\end{matrix}\right.\\ b,\left\{{}\begin{matrix}u_1=3\\u_{n+1}=\dfrac{2u_n}{3+u_n}\end{matrix}\right.\)

Answer 1

a. Chắc là \(u_1=2\) mà em ghi nhầm

Ta dễ dàng sử dụng quy nạp chứng minh được \(u_n< 3\)

Với \(u_1\) đúng. 

Giả sử đúng với \(n=k\) hay \(u_k< 3\)

Cần chứng minh \(u_{k+1}=\sqrt{2u_k+3}< 3\)

Hiển nhiên đúng do \(\sqrt{2u_k+3}< \sqrt{2.3+3}=3\)

Từ đó ta có:

\(u_{n+1}-u_n=\sqrt{2u_n+3}-u_n=\dfrac{2u_n+3-u_n^2}{\sqrt{2u_n+3}+u_n}=\dfrac{\left(u_n+1\right)\left(3-u_n\right)}{\sqrt{2u_n+3}+u_n}>0\)

\(\Rightarrow u_n\) là dãy tăng 

b.

Hiển nhiên dãy đã cho là dãy dương.

\(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{2}{3+u_n}< \dfrac{2}{3}< 1\Rightarrow u_{n+1}< u_n\)

Dãy giảm