Question

`x^2 -2(m+4)x+m^2 -8=0`

Tìm m để \(x_1^2+x_2^2-x_1-x_2\) đạt min

Answer 1

Lời giải:
Để pt có 2 nghiệm $x_1,x_2$ thì:

$\Delta'=(m+4)^2-(m^2-8)\geq 0$

$\Leftrightarrow 8m+24\geq 0$

$\Leftrightarrow m\geq -3$

Áp dụng định lý Viet, với $x_1,x_2$ là 2 nghiệm của pt thì:

$x_1+x_2=2(m+4)$

$x_1x_2=m^2-8$

Khi đó:

$A=x_1^2+x_2^2-x_1-x_2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2-(x_1+x_2)$

$=4(m+4)^2-2(m^2-8)-2(m+4)$

$=2m^2+30m+72$

$=2(m^2+15m+36)=2(m+3)(m+12)\geq 0$ do $m\geq -3$

Vậy $A_{\min}=0$. Giá trị này đạt được khi $m=-3$

Answer 2

\(\Delta'=\left(m+4\right)^2-\left(m^2-8\right)=8m+16\ge0\Rightarrow m\ge-2\)

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m+4\right)\\x_1x_2=m^2-8\end{matrix}\right.\)

Đặt \(A=x_1^2+x_2^2-x_1-x_2\)

\(=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)\)

\(=4\left(m+4\right)^2-2\left(m^2-8\right)-2\left(m+4\right)\)

\(=2m^2+30m+72\)

\(=2m^2+30m+52+20\)

\(=2\left(m+2\right)\left(m+13\right)+20\)

Do \(m\ge-2\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m+2\ge0\\m+13>0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow2\left(m+2\right)\left(m+13\right)+20\ge20\)

Dấu "=" xảy ra khi \(m=-2\)