Question

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD với A(1; 1), B(-1; 1), C(-1; -1), D(1;-1). Phép quay ngược chiều 45° tâm 0 biến các điểm A, B, C, D lần lượt thành các điểm M, N, P, Q. Tính diện tích tứ giác MNPQ.

Answer 1

Phép quay ngược chiều kim đồng hồ góc \(45^o\) quanh tâm \(O\left(0;0\right)\) được biểu diễn bằng công thức :

\(\left\{{}\begin{matrix}x'=xcos45^o-ycos45^o\\y'=xcos45^o+ycos45^o\end{matrix}\right.\)

\(A\left(1;1\right)\Rightarrow M\left(0;\sqrt{2}\right)\)

\(B\left(-1;1\right)\Rightarrow N\left(-\sqrt{2};0\right)\)

\(C\left(-1;-1\right)\Rightarrow P\left(0;-\sqrt{2}\right)\)

\(D\left(1;-1\right)\Rightarrow Q\left(\sqrt{2};0\right)\)

Diện tích tứ giác \(MNPQ\) được tính theo công thức tọa độ :

\(S_{MNPQ}=\dfrac{1}{2}\left|x_1y_2+x_2y_3+x_3y_4+x_4y_1-\left(y_1x_2+y_2x_3+y_3x_4+y_4x_1\right)\right|\)

\(\Rightarrow S_{MNPQ}=\dfrac{1}{2}\left|0+2+0+2-\left(-2+0-2+0\right)\right|=\dfrac{1}{2}.8=4\left(đvdt\right)\)