Ta có : \(\left(x-3\right)^2+x^4=-y^2+6y-4\Leftrightarrow\left(x-3\right)^2+x^4=-\left(y^2-6y+9\right)+5\)
\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)^2+x^4+\left(y-3\right)^2=5\)(1)
Từ (1) ta suy ra được : \(x^4\le5\Rightarrow-1\le x\le1\)( Vì \(x\in Z\))
Nhận xét , nếu \(x\le0\Rightarrow\left(y-3\right)^2=5-\left[\left(x-3\right)^2+x^4\right]< 0\) (vô lí)
Vậy x = 1. Suy ra \(\left(y-3\right)^2=0\Leftrightarrow y=3\)
Kết luận : Tập nghiệm của phương trình : (x;y) = (1;3)
Ta chia thành 2 trường hợp :
a)y^2+y=x^4+x^3+x^2+x=0 (1)
...(1)<=>y(y+1)=x(x^3+x^2+x+1)=0
...Pt này có 4 nghiệm sau
...x1=0; y1=0
...x2=0; y2= -1
...x3= -1; y3=0
...x4= -1; y4= -1
b)y^2+y=x^4+x^3+x^2+x (# 0) (2)
...ĐK để 2 vế khác 0 là x và y đều phải khác 0 và -1.Với ĐK đó thì
...(2)<=>y(y+1)=(x^2)(x^2+x+1+1/x)
...Đến đây lại chia 2 th :
...+{y=x^2
.....{x+1+1/x=1 (3)
.....(3) vô nghiệm =>th này vô nghiệm
...+{y+1=x^2
.....{x+1+1/x= -1
....=>x= -1; y=0 (theo ĐK ở trên nghiệm này phải loại)
...Vậy khi y^2+y=x^4+x^3+x^2+x # 0 thì pt vô nghiệm
Tóm lại pt đã cho có 4 nghiệm
x1=0; y1=0
x2=0; y2= -1
x3= -1; y3=0
x4= -1; y4= -1
