\(\left(x+y+z\right)^2=x^3+y^3+z^3\ge\dfrac{1}{9}\left(x+y+z\right)^3\)
\(\Rightarrow x+y+z\le9\)
Không mất tính tổng quát, giả sử \(x\ge y\ge z\Rightarrow z\le3\)
TH1: \(z=3\Rightarrow y=z=3\) thế vào kiểm tra...
TH2: \(z=2\)
\(\Rightarrow x^3+y^3+8=\left(x+y+2\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)+8=\left(x+y\right)^2+2\left(x+y\right)+4\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)+4=\left(x+y\right)^2+2\left(x+y\right)\)
Do 4 số hạng chia hết \(x+y\Rightarrow4⋮x+y\)
Mà \(x\ge y\ge z=2\Rightarrow x=y=2\) thế vào kiểm tra...
TH3: \(z=1\)
\(\Rightarrow x^3+y^3+1=\left(x+y+1\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)=\left(x+y\right)^2+2\left(x+y\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2-xy-x-y=2\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2=6\)
Tới đây dễ rồi
