Bổ đề. \(\sqrt{2}\) là số vô tỉ.
Chứng minh. Phản chứng giả sử \(\sqrt{2}\) là số hữu tỉ thì \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) với \(p,q\) là số nguyên dương, nguyên tố cùng nhau. Do đó \(2q^2=p^2\to p\vdots2\to p=2p_1\to q^2=2p_1^2\to q\vdots2\to q=2q_1\to2q_1^2=p_1^2\to\cdots\) ta sẽ suy ra \(p=2p_1=2^2p_2=2^3p_3=\cdots=2^np_n\to p\vdots2^n\) với mọi số nguyên dương \(n,\) suy ra \(p=0\to\sqrt{2}=0,\) vô lí.
Vậy \(\sqrt{2}\) là số vô tỉ.
Đặt \(44\ldots4=4\times11\ldots1=4\cdot\frac{10^n-1}{9},88\ldots8=8\times\frac{10^n-1}{9}.\) Do đó mà \(A=\sqrt{44\ldots4\times88\ldots8}=\sqrt{32\cdot\left(\frac{10^n-1}{9}\right)^2}=\frac{10^n-1}{9}\cdot4\sqrt{2}.\) Vì vậy nếu A là số tự nhiên thì \(\sqrt{2}=\frac{A}{4\times\frac{10^n-1}{9}}\) là số hữu tỉ. Điều này mâu thuẫn với nhận xét trên.
Vậy không có số nguyên dương n nào thoả mãn yêu cầu.
