Gọi phân số cần tìm là a/b. Theo đầu bài ta có:
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{41}{20}\)
Ta thấy \(\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{a}=1\)
Đặt \(\frac{a}{b}-\frac{b}{a}=k\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{\frac{41}{20}+k}{2};\Rightarrow\frac{b}{a}=\frac{\frac{41}{20}-k}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{a}=\frac{\frac{41}{20}+k}{2}\cdot\frac{\frac{41}{20}-k}{2}=1\)
\(\Rightarrow\frac{\left(\frac{41}{20}+k\right)\cdot\left(\frac{41}{20}-k\right)}{4}=1\)
\(\Rightarrow\left(\frac{41}{20}\right)^2-k^2=4\)
\(\Rightarrow\frac{1681}{400}-k^2=\frac{1600}{400}\)
\(\Rightarrow k^2=\frac{81}{400}\)
\(\Rightarrow k=\frac{9}{20}\)
Vậy phân số cần tìm là: \(\left(\frac{41}{20}+\frac{9}{20}\right):2=\frac{5}{4}\)
Đáp số: 5/4
Vì nghịch đảo của nó bằng 41/20 nên phân số đó là: 20/41
Gọi phân số tối giản đó là \(\frac{a}{b}\).Phân số nghịch đảo của nó là \(\frac{b}{a}\)(a;b thuộc N*)
Vì vai trò của a;b là như nhau nên ta giả sử a>b.
\(\Rightarrow\)a=b+m (m thuộc N)
Thay a=b+m ta có :
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{b+m}{b}+\frac{b}{b+m}=1+\frac{m}{b}+\frac{b}{b+m}=\frac{41}{20}\)
\(\Rightarrow\frac{m}{b}+\frac{b}{b+m}=\frac{41}{20}-1=\frac{21}{20}\)
\(\Rightarrow\frac{m}{b}+\frac{b}{b+m}=\frac{m\times\left(b+m\right)}{b\times\left(b+m\right)}+\frac{b^2}{b\times\left(b+m\right)}=\frac{m\times b+m^2}{b^2+b\times m}+\frac{b^2}{b^2+b\times m}\)\(=\frac{m\times b+m^2+b^2}{b^2+b\times m}=1+\frac{m^2}{b^2+b\times m}=\frac{21}{20}\)
\(\Rightarrow\frac{m^2}{b^2+b\times m}=\frac{21}{20}-1=\frac{1}{20}\)
\(\Rightarrow\frac{m^2}{b^2+b\times m}=\frac{1}{20}\)
\(\Rightarrow m^2=1\Rightarrow m=1\)
Thay m = 1 ta có :
\(\Rightarrow\frac{1^2}{b^2+1\times b}=\frac{1}{b\times\left(b+1\right)}=\frac{1}{20}\)
Vì b\(\times\)(b+1) là tích 2 số tự nhiên liên tiếp :
\(\Rightarrow b=4\)
\(\Rightarrow a=1+4=5\)
Vậy phân số tối giản đó là \(\frac{5}{4}\)hoặc \(\frac{4}{5}\)
