Xét phương trình \(x^2-2\left(m+1\right)x+4m-3=0\) (1) là phương trình bậc hai một ẩn
Có \(\Delta'=m^2-2m+4>0\)nên phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\)
Áp dụng ĐL Vi-et có: \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2m+2\\x_1x_2=4m-3\end{cases}}\)
Ta có: \(2x_1+x_2=5\Leftrightarrow x_1=5-\left(x_1+x_2\right)\Rightarrow x_1=5-\left(2m+2\right)=3-2m\)
Giả sử: \(x_1=\frac{-b'+\sqrt{\Delta'}}{a}=2m+2+\sqrt{m^2-2m+4}\)
Khi đó: \(2m+2+\sqrt{m^2-2m+4}=3-2m\)\(\Leftrightarrow\sqrt{m^2-2m+4}=1-4m\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m\le\frac{1}{4}\\5m^2-2m-1=0\end{cases}}\Leftrightarrow m\le\frac{1}{4}\) và \(\orbr{\begin{cases}m=\frac{1+\sqrt{6}}{5}\left(l\right)\\m=\frac{1-\sqrt{6}}{5}\left(c\right)\end{cases}}\)
Giả sử \(x_1=\frac{-b'-\sqrt{\Delta'}}{a}=2m+2-\sqrt{m^2-2m+4}\)
Khi đó: \(\sqrt{m^2-2m+4}=4m-1\)(Giải tương tự)
Vậy \(m=\frac{1-\sqrt{6}}{5}\) thỏa mãn đề.
ta có: \(\Delta'=\left(-m-1\right)^2-4m+3=m^2-2m+4\)
\(=\left(m-1\right)^2+3\ge3>0\)
Vì \(\Delta'>0\)nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
Khi đó theo hệ thức Viet ta có: \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2m+2\\x_1x_2=4m-3\end{cases}}\)
Do đó x1, x2 là nghiệm của hệ\(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2m+2\\2x_1+x_2=5\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x_1=3-2m\\x_2=4m-1\end{cases}}\)
\(\Rightarrow4m-3=\left(3-2m\right)\left(4m-1\right)\) \(\Leftrightarrow8m^2-10m+3=0\) ( * )
giải pt (*) ta tìm được m
