Question

Tìm giá trị nhỏ nhất của P= \(a+b+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\) với a≥4 và b≥5

Answer 1

Ta có:

`P=a+b+1/a+1/b`

`=16/16a+25/25b+1/a+1/b`

`=(1/16a+1/a)+(1/25b+1/b)+15/16a+24/25b`

\(\left\{{}\begin{matrix}a\ge4\\b\ge5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{16}a>0;\dfrac{1}{a}>0\\\dfrac{1}{25}b>0;\dfrac{1}{b}>0\end{matrix}\right.\)

Áp dụng bđt cô-si ta có: 

\(P\ge2\sqrt{\dfrac{1}{16}a\cdot\dfrac{1}{a}}+2\sqrt{\dfrac{1}{25}b\cdot\dfrac{1}{b}}+\dfrac{15}{16}a+\dfrac{24}{25}b\\ \ge2\cdot\dfrac{1}{4}+2\cdot\dfrac{1}{5}+\dfrac{15}{16}\cdot4+\dfrac{24}{25}\cdot5=\dfrac{189}{20}\)

Dấu "=" xảy ra khi: `a=4` và `b=5`