Cho 1 số nguyên a bất kì, ta có các nhận xét:
\(a^3+a\) luôn chẵn. Điều này hiển nhiên đúng, do a chẵn thì \(a^3\) chẵn \(\Rightarrow a^3+a\) chẵn. a lẻ thì \(a^3\) lẻ \(\Rightarrow a^3+a\) chẵn
\(a^2+a\) luôn chẵn. Cũng dễ chứng minh, \(a\left(a+1\right)\) là tích 2 số nguyên liên tiếp nên luôn chẵn.
\(\left|a\right|+a\) luôn chẵn. Cũng dễ chứng minh, do \(\left|a\right|\) và a cùng tính chẵn lẻ nên tổng của chúng luôn chẵn
Từ đó suy ra:
\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-y\right)^3+x-y\\\left(y-z\right)^2+y-z\\\left|z-x\right|+z-x\end{matrix}\right.\) luôn chẵn
Cộng vế rút gọn được \(\left(x-y\right)^3+\left(y-z\right)^2+\left|z-x\right|\) chẵn
\(\Rightarrow\left(x-y\right)^3+\left(y-z\right)^2+\left|z-x\right|+2\left(y-z\right)^2+4\left|z-x\right|\) chẵn với mọi x;y;z nguyên
Nhưng 35 lẻ, nên ko tồn tại x;y;z nguyên thỏa mãn yêu cầu
