Phương trình \(sinx = -\frac{1}{\sqrt{3}} \)có nghiệm tổng quát là:
\(x = arcsin\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) + k2\pi\)
hoặc \(x = \pi - arcsin\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) + k2\pi, với k \in \mathbb{Z}\)
Đặt \(\alpha = arcsin\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\)
ta có \(\alpha \approx -0.577 rad.\)
Khi đó, nghiệm tổng quát của phương trình là:
\(x = \alpha + k2\pi\) hoặc \(x = \pi - \alpha + k2\pi\)
Xét nghiệm \(x = \alpha + k2\pi:\)
\(-\frac{5\pi}{2} < \alpha + k2\pi < \frac{5\pi}{2}\)
\(-\frac{5\pi}{2} - \alpha < k2\pi < \frac{5\pi}{2} - \alpha\)
\(-\frac{5\pi}{4\pi} - \frac{\alpha}{2\pi} < k < \frac{5\pi}{4\pi} - \frac{\alpha}{2\pi}\)
\(-\frac{5}{4} - \frac{\alpha}{2\pi} < k < \frac{5}{4} - \frac{\alpha}{2\pi}\)
Vì \(\alpha \approx -0.577 \) nên \( -\frac{\alpha}{2\pi} \approx 0.0918\)
\( -1.25 + 0.0918 < k < 1.25 + 0.0918\)
\(-1.1582 < k < 1.3418\)
Vậy k có thể là -1, 0, 1. Ta được 3 nghiệm:
\(x_1 = \alpha - 2\pi\)
\(x_2 = \alpha\)
\(x_3 = \alpha + 2\pi\)
Xét nghiệm \(x = \pi - \alpha + k2\pi:\)
\(-\frac{5\pi}{2} < \pi - \alpha + k2\pi < \frac{5\pi}{2}\)
\(-\frac{5\pi}{2} - \pi + \alpha < k2\pi < \frac{5\pi}{2} - \pi + \alpha\)
\(-\frac{7\pi}{2} + \alpha < k2\pi < \frac{3\pi}{2} + \alpha\)
\(-\frac{7}{4} + \frac{\alpha}{2\pi} < k < \frac{3}{4} + \frac{\alpha}{2\pi}\)
\( -1.75 + 0.0918 < k < 0.75 + 0.0918\)
\( -1.6582 < k < 0.8418\)
Vậy k có thể là -1, 0. Ta được 2 nghiệm:
\(x_4 = \pi - \alpha - 2\pi = -\pi - \alpha\)
\(x_5 = \pi - \alpha\)
Phương trình \(sinx = -\frac{1}{\sqrt{3}}\) có 5 nghiệm trên khoảng \(\left(-\frac{5\pi}{2}; \frac{5\pi}{2}\right)\)
Đáp án: 5
