nh thang ABCD có AB // CD, AB = a, BC = b, CD = c, DA = d. Các đường phân giác của các góc đỉnh A và D cắt nhau tại E, các đường phân giác của các góc đỉnh B và C cắt nhau tại F. Gọi M,Ntheo thứ tự là trung điểm của AD và BC
a) Chứng minh M,E,N,F nằm trên một đường thẳng
b) Tính độ dài MN, MF,FN theo a, b, c, d
b) Ta có:
\(MN=\dfrac{1}{2}\left(AB+CD\right)=\dfrac{1}{2}\left(a+c\right)\)
Và:
c = CD = CQ + QD = BC + QD = b + QD ( vì t/g BCQ cân)
=> QD = c - b
Trong hình thang ABQD có M là trung điểm của AD và MF//DQ nên chứng minh được F là trung điểm của BQ, từ đó chứng minh MF là đường trung bình của hình thang ABQD.
Vì MF là đường trung bình của hình thang ABQD.
=>\(MF=\dfrac{1}{2}\left(AB+DQ\right)=\dfrac{1}{2}\left(a+c-b\right)\)
Mặt khác, FN là đường trung bình của tam giác BCQ, nghĩa là:
\(FN=\dfrac{1}{2}CQ=\dfrac{1}{2}b\)
a) \(\widehat{AED}=180^0-\widehat{DAE}-\widehat{ADE}=180^0-\dfrac{\widehat{DAB}+\widehat{ADC}}{2}=180^0-90^0=90^0\)
Tương tự: \(\widehat{BFC}=90^0\).
AE,BF cắt DC tại G,H.
△ADG có: DE vừa là phân giác, vừa là đường cao.
\(\Rightarrow\)△ADG cân tại D.
\(\Rightarrow\)E là trung điểm AG.
Tương tự: F là trung điểm BH.
△ADG có: M là trung điểm AD, E là trung điểm AG.
\(\Rightarrow\)ME là đg trung bình của △ADG.
\(\Rightarrow ME=\dfrac{DG}{2};\)ME//DC (1)
Tương tự: \(NF=\dfrac{CH}{2}\); NF//DC (2)
Hình thang ABCD (AB//CD) có:
M là trung điểm AD, N là trung điểm BC.
\(\Rightarrow MN=\dfrac{AB+CD}{2};\) MN//CD
Từ (1), (2), (3) suy ra đpcm.
b) \(MN=\dfrac{AB+CD}{2}=\dfrac{a+c}{2}\)
Hình thang ABHG (AB//HG) có:
E là trung điểm AG, F là trung điểm BH.
\(\Rightarrow EF=\dfrac{AB+GH}{2}=\dfrac{a+\left(CD-DG-HC\right)}{2}=\dfrac{a+\left(c-DA-BC\right)}{2}=\dfrac{a+c-b-d}{2}\)\(MF=EF+ME=\dfrac{a+c-b-d+DG}{2}=\dfrac{a+c-b-d+DA}{2}=\dfrac{a+c-b}{2}\)\(FN=EF+NF=\dfrac{a+c-b-d+HC}{2}=\dfrac{a+c-b-d+BC}{2}=\dfrac{a+c-d}{2}\)
