[MATH CHALLENGE - DAY 1 - 12/3/2025]
1] CẤP ĐỘ THPT:
Tìm số hạng tổng quát của dãy số được xác định bởi:
\(\left\{{}\begin{matrix}u_1=1\\u_n=\dfrac{2\left(n+1\right)u_{n+1}}{n}+\dfrac{2-n}{\left(n^2+n+1\right)^2+1},n\ge1\end{matrix}\right.\)
Mức điểm thưởng: +10 điểm
2] CẤP ĐỘ THCS:
Giải phương trình sau:
\(\dfrac{1+x}{\sqrt{17-4x}}+\dfrac{1-x}{\sqrt{17+4x}}=\dfrac{4}{5}\)
Mức điểm thưởng: +5 điểm
[CHALLENGE KẾT THÚC]
ĐÁP ÁN:
1] Ta có:
\(u_n=\dfrac{2\left(n+1\right)u_{n+1}}{n}+\dfrac{2-n}{\left(n^2+n+1\right)^2+1}\\ \Rightarrow\left(n+1\right)u_{n+1}=\dfrac{1}{2}nu_n-\dfrac{2n-n^2}{\left(n^2+2n+2\right)\left(n^2+1\right)}\\ \Rightarrow\left(n+1\right)u_{n+1}=\dfrac{1}{2}nu_n+\dfrac{2\left(n^2+1\right)-\left(n^2+2n+2\right)}{\left(n^2+2n+2\right)\left(n^2+1\right)}\\\Rightarrow\left(n+1\right)u_{n+1}-\dfrac{2}{n^2+2n+2}=\dfrac{1}{2}\left(nu_n-\dfrac{2}{n^2+1}\right)=\dfrac{1}{2}\left(nu_n-\dfrac{2}{\left(n-1\right)^2+2\left(n-1\right)+2}\right)\)
Đặt: \(x_n=nu_n-\dfrac{2}{n^2+1}\left(\Rightarrow x_1=0\right)\)
\(\Rightarrow x_{n+1}=\dfrac{1}{2}x_n\Rightarrow x_n=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}\cdot x_1=0\\ \Rightarrow nu_n-\dfrac{2}{n^2+1}=0\\ \Rightarrow u_n=\dfrac{2}{n^3+n}\)
Vậy: ...
2] \(-\dfrac{17}{4}\le x \le\dfrac{17}{4}\)
Đặt: \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{17-4x}=a\\\sqrt{17+4x}=b\end{matrix}\right.,a,b\ge0\)
Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}a^2+b^2=34\\\dfrac{-13+a}{4a}+\dfrac{-13+b}{4b}=\dfrac{4}{5}\end{matrix}\right.\)
Giải hệ phương trình ta được a,b từ đó giải được x và so với điều kiện (phần còn lại các bạn có thể tự giải)
Kết thúc bài toán
a ơi có cấp độ Tiểu học không ạ? Chứ e mới học lớp 3 thui 
