Trừ vế cho vế:
\(\sqrt{1+\left(x+y\right)^2}+x\left(2y^3+x^2\right)-\sqrt{2x^2y^2-x^4y^4}=-y^6-x^2\left(1-x^3\right)\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{1+\left(x+y\right)^2}-\sqrt{2x^2y^2-x^4y^4}+x^2+2xy^3+y^6=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1+\left(x+y\right)^2-2x^2y^2+x^4y^4}{\sqrt{1+\left(x+y\right)^2}+\sqrt{2x^2y^2-x^4y^4}}+\left(x+y^3\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x+y\right)^2+\left(x^2y^2-1\right)^2}{\sqrt{+\left(x+y\right)^2}+\sqrt{2x^2y^2-x^4y^4}}+\left(x+y^3\right)^2=0\)
Do tất cả các số hạng ở vế trái đều ko âm nên đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x+y\right)^2=0\\\left(x^2y^2-1\right)^2=0\\\left(x+y^3\right)^2=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=0\\x^2y^2-1=0\\x+y^3=0\\\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=-x\\x^4-1=0\\x-x^3=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1;y=-1\\x=-1;y=1\end{matrix}\right.\)
Thế vào hệ ban đầu kiểm tra thấy chỉ có cặp \(\left(x;y\right)=\left(1;-1\right)\) thỏa mãn
