\(\left\{{}\begin{matrix}3x=y^2+y+1\left(1\right)\\3y=x^2+x+1\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
Lấy (1) trừ (2), suy ra: \(x^2-2x+1=y^2-2y+1\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2=\left(y-1\right)^2\Leftrightarrow\left|x-1\right|=\left|y-1\right|\left(3\right)\)
Trường hợp 1: \(x,y\ge1\), khi đó: \(\left(3\right)\Leftrightarrow x=y\).
Thay lại vào hệ thì \(x=y=1\) (nhận).
Trường hợp 2: \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge1\\y< 1\end{matrix}\right.\), khi đó \(\left(3\right)\Leftrightarrow x+y=2\Leftrightarrow y=2-x\).
Thay lại vào (2), suy ra: \(\left[{}\begin{matrix}x=1\left(N\right)\\x=-5\left(L\right)\end{matrix}\right.\), suy ra \(y=1\) (loại).
Trường hợp 3: \(\left\{{}\begin{matrix}x< 1\\y\ge1\end{matrix}\right.\), khi đó \(\left(3\right)\Leftrightarrow x+y=2\), tương tự như trường hợp 2, loại.
Trường hợp 4: \(x,y< 1\), khi đó \(\left(3\right)\Leftrightarrow x=y\), tương tự như trường hợp 1 thì \(x=y=1\left(L\right)\).
Tổng quát, hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left(x;y\right)=\left(1;1\right)\)
