Hứa tặng GP nha :))
I. BĐT:
1.Cho a,b,c là độ dài của ba cạnh tam giác CMR:
\(\left(a\right)a^2+b^2+c^2< 2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\left(b\right)\dfrac{a}{b+c-a}+\dfrac{b}{a+c-b}+\dfrac{c}{a+b-c}\ge3\)
\(\left(c\right)\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}< 2\)
2. Cho a, b, c, d > 0 và abcd = 1 CMR: \(a^2+b^2+c^2+d^2+ab+cd\ge6\)
3. \(\left(x-1\right)\left(x-3\right)\left(x-4\right)\left(x-6\right)+9\ge0\)
4. \(\dfrac{ab}{a+b}+\dfrac{bc}{b+c}+\dfrac{ca}{c+a}\le\dfrac{a+b +c}{2}\)
Bài 1:
(a)
Vì $a,b,c$ là độ dài ba cạnh tam giác nên theo BĐT tam giác ta có:
\(\left\{\begin{matrix} a+b>c\\ b+c>a\\ c+a>b\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} c(a+b)>c^2\\ a(b+c)>a^2\\ b(c+a)>b^2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow c(a+b)+a(b+c)+b(c+a)> c^2+a^2+b^2\)
\(\Leftrightarrow 2(ab+bc+ac)> a^2+b^2+c^2\)
Ta có đpcm.
(2): Bài này có nhiều cách giải. Nhưng mình xin đưa ra cách làm thuần túy Cô-si nhất.
Đặt
\((a+b-c, b+c-a, c+a-b)=(x,y,z)\Rightarrow (a,b,c)=(\frac{x+z}{2}; \frac{x+y}{2}; \frac{y+z}{2})\)
Khi đó:
\(\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}=\frac{x+z}{2y}+\frac{x+y}{2z}+\frac{y+z}{2x}\)
\(=\frac{x}{2y}+\frac{z}{2y}+\frac{x}{2z}+\frac{y}{2z}+\frac{y}{2x}+\frac{z}{2x}\geq 6\sqrt[6]{\frac{1}{2^6}}=3\) (áp dụng BĐT Cô-si)
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z$ hay $a=b=c$
(c):
Theo BĐT tam giác:
\(b+c>a\Rightarrow 2(b+c)> b+c+a\Rightarrow b+c> \frac{a+b+c}{2}\)
\(\Rightarrow \frac{a}{b+c}< \frac{2a}{a+b+c}\)
Hoàn toàn tương tự với những phân thức còn lại và cộng theo vế:
\(\Rightarrow \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}< \frac{2a}{a+b+c}+\frac{2b}{a+b+c}+\frac{2c}{a+b+c}=2\)
Ta có đpcm.
Bài 2:
Áp dụng BĐT Cô-si cho các số dương:
\(a^2+b^2+c^2+d^2+ab+cd\geq 6\sqrt[6]{a^2.b^2.c^2.d^2.ab.cd}=6\sqrt[6]{(abcd)^3}=6\sqrt[6]{1^3}=6\)
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} a^2=b^2=c^2=d^2=ab=cd\\ abcd=1\end{matrix}\right.\Rightarrow a=b=c=d=1\)
Bài 3:
Ta có:
\((x-1)(x-3)(x-4)(x-6)+9\)
\(=[(x-1)(x-6)][(x-3)(x-4)]+9\)
\(=(x^2-7x+6)(x^2-7x+12)+9\)
\(=a(a+6)+9\) (đặt \(x^2-7x+6=a\) )
\(=a^2+6a+9=(a+3)^2\geq 0, \forall a\in\mathbb{R}\)
Ta có đpcm.
Bài 4: Thêm điều kiện $a,b,c>0$
Áp dụng BĐT Cô-si:
\(a^2+b^2\geq 2\sqrt{a^2.b^2}=2ab\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+2ab\geq 4ab\)
\(\Rightarrow (a+b)^2\geq 4ab\Rightarrow a+b\geq \frac{4ab}{a+b}\)
Hoàn toàn tương tự với các phân thức khác và cộng theo vế:
\(\Rightarrow (a+b)+(b+c)+(c+a)\geq \frac{4ab}{a+b}+\frac{4bc}{b+c}+\frac{4ac}{c+a}\)
\(\Leftrightarrow \frac{a+b+c}{2}\geq \frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$
Nguyễn Việt Lâm, Nguyễn Thanh Hằng, Trần Trung Nguyên, Ribi Nkok Ngok, Thiên Hàn, DƯƠNG PHAN KHÁNH DƯƠNG, Akai Haruma, Mysterious Person, giải hộ em với ạ.
