Violympic toán 8

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Thánh cao su

Cho a;b;c > 0 và ab+bc+ca=abc. CMR :

\(\dfrac{a^4+b^4}{ab\left(a^3+b^3\right)}+\dfrac{b^4+c^4}{bc\left(b^3+c^3\right)}+\dfrac{c^4+a^4}{ca\left(c^3+a^3\right)}\ge1\)

Akai Haruma
20 tháng 12 2017 lúc 0:12

Lời giải:

Ta có:

\(ab+bc+ac=abc\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\)

Xét \(a^4+b^4-(ab^3+a^3b)=(a-b)(a^3-b^3)\)

\(=(a-b)^2(a^2+ab+b^2)\geq 0\forall a,b> 0\)

\(\Rightarrow a^4+b^4\geq ab^3+a^3b\)

\(\Rightarrow 2(a^4+b^4)\geq (a^3+b^3)(a+b)\)

\(\Rightarrow \frac{a^4+b^4}{ab(a^3+b^3)}\geq \frac{(a^3+b^3)(a+b)}{2ab(a^3+b^3)}=\frac{a+b}{2ab}=\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}\)

Thực hiện tương tự với các phân thức còn lại:

\(\Rightarrow \frac{a^4+b^4}{ab(a^3+b^3)}+\frac{b^4+c^4}{bc(b^3+c^3)}+\frac{c^4+a^4}{ca(c^3+a^3)}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\)

Ta có đpcm

Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=3\)


Các câu hỏi tương tự
Gallavich
Xem chi tiết
Phú Thái
Xem chi tiết
Vũ Phương Thảo
Xem chi tiết
Trung Nguyen
Xem chi tiết
 Mashiro Shiina
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Hằng
Xem chi tiết
Nguyễn Phạm Thanh Nga
Xem chi tiết
Suzanna Dezaki
Xem chi tiết
Khanh Hoa
Xem chi tiết