a) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:\(AH^2=HB\cdot HC\)\(\Leftrightarrow AH^2=4\cdot9=36\)hay AH=6(cm)Xét tứ giác AEHD có \(\widehat{AEH}=90^0\)\(\widehat{ADH}=90^0\)\(\widehat{EAD}=90^0\)Do đó: AEHD là hình chữ nhật(Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)Suy ra: AH=ED(Hai đường chéo)mà AH=6cmnên ED=6cmVậy: ED=6cmb) Gọi G là giao điểm của AH và DE=> GA=GD=GE=GHhay ΔGHD cân tại G\(\Leftrightarrow\widehat{GHD}=\widehat{GDH}\)\(\Leftrightarrow\widehat{MDH}=\widehat{MHD}\)(2)hay ΔMDH cân tại MSuy ra: MH=MD(1)Ta có: \(\widehat{MDH}+\widehat{MDB}=90^0\)(3)\(\widehat{MHD}+\widehat{MBD}=90^0\)(4)Từ (2), (3) và (4) suy ra \(\widehat{MDB}=\widehat{MBD}\)hay ΔMDB cân tại MSuy ra: MD=MB(5)Từ (1) và (5) suy ra MH=MBmà M nằm giữa H và B nên M là trung điểm của HBCM tương tự, ta được: NH=NChay N là trung điểm của CHTa có: HB+HC=BC(H nằm giữa B và C)nên 2NH+2MH=BC\(\Leftrightarrow MN=\dfrac{1}{2}BC\)(đpcm)Câu trả lời: a) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:\(AH^2=HB\cdot HC\)\(\Leftrightarrow AH^2=4\cdot9=36\)hay AH=6(cm)Xét tứ giác AEHD có \(\widehat{AEH}=90^0\)\(\widehat{ADH}=90^0\)\(\widehat{EAD}=90^0\)Do đó: AEHD là hình chữ nhật(Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)Suy ra: AH=ED(Hai đường chéo)mà AH=6cmnên ED=6cmVậy: ED=6cmb) Gọi G là giao điểm của AH và DE=> GA=GD=GE=GHhay ΔGHD cân tại G\(\Leftrightarrow\widehat{GHD}=\widehat{GDH}\)\(\Leftrightarrow\widehat{MDH}=\widehat{MHD}\)(2)hay ΔMDH cân tại MSuy ra: MH=MD(1)Ta có: \(\widehat{MDH}+\widehat{MDB}=90^0\)(3)\(\widehat{MHD}+\widehat{MBD}=90^0\)(4)Từ (2), (3) và (4) suy ra \(\widehat{MDB}=\widehat{MBD}\)hay ΔMDB cân tại MSuy ra: MD=MB(5)Từ (1) và (5) suy ra MH=MBmà M nằm giữa H và B nên M là trung điểm của HBCM tương tự, ta được: NH=NChay N là trung điểm của CHTa có: HB+HC=BC(H nằm giữa B và C)nên 2NH+2MH=BC\(\Leftrightarrow MN=\dfrac{1}{2}BC\)(đpcm)