a: Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao
nên \(AH^2=HB\cdot HC\)
Xét ΔAHB vuông tại H có HI là đường cao
nên \(AI\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)
Xét ΔAHC vuông tại H có HK là đường cao
nên \(AK\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(AI\cdot AB=AK\cdot AC\)
b: AI*AB=AK*AC
=>\(\dfrac{AI}{AC}=\dfrac{AK}{AB}\)
Xét ΔAIK và ΔACB có
\(\dfrac{AI}{AC}=\dfrac{AK}{AB}\)
\(\widehat{IAK}\) chung
Do đó: ΔAIK\(\sim\)ΔACB
=>\(\widehat{AIK}=\widehat{ACB}\)
mà \(\widehat{AIK}=\widehat{PIB}\)(hai góc đối đỉnh)
nên \(\widehat{PIB}=\widehat{ACB}\)
c: Xét ΔHAC có
E,F lần lượt là trung điểm của HA,HC
=>EF là đường trung bình
=>EF//AC
mà AC\(\perp\)AB
nên EF\(\perp\)AB
Xét ΔEAB có
EF,AH là đường cao
EF cắt AH tại F
Do đó: F là trực tâm
=>BF\(\perp\)AE
=>BN\(\perp\)AE tại M
ΔABN vuông tại A có AM là đường cao
nên \(BM\cdot BN=BA^2\)
mà \(BH\cdot BC=BA^2\)
nên \(BM\cdot BN=BH\cdot BC\)
