Question

Giải giúp mình câu này với ạ (chi tiết)

  

Answer 1

a.

Do H là giao điểm 2 đường cao AD, BE nên H là trực tâm tam giác ABC

\(\Rightarrow CF\) là đường cao thứ 3

\(\Rightarrow CF\perp AB\) tại F

2 điểm E và F cùng nhìn BC dưới 1 góc vuông nên tứ giác BCEF nội tiếp hay 4 điểm B, F, E, C cùng thuộc một đường tròn

b.

Do tứ giác BCEF nội tiếp \(\Rightarrow\widehat{BCE}+\widehat{BFE}=180^0\)

Mà \(\widehat{BFE}+\widehat{BFP}=180^0\)

\(\Rightarrow\widehat{BCE}=\widehat{BFP}\)

Xét hai tam giác PEC và PBF có: 

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{CPE}\text{ chung}\\\widehat{BCE}=\widehat{BFP}\left(cmt\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\Delta PEC\sim\Delta PBF\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{PE}{PB}=\dfrac{PC}{PF}\Rightarrow PE.PF=PB.PC\)

Hoàn toàn tương tự, do tứ giác BCAM nội tiếp (O;R) nên \(\widehat{PCA}=\widehat{PMB}\)

\(\Rightarrow\Delta PBM\sim\Delta PAC\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{PB}{PA}=\dfrac{PM}{PC}\Rightarrow PM.PA=PB.PC\)

\(\Rightarrow PM.PA=PE.PF\left(đpcm\right)\)

c.

Do N là trung điểm BC nên N là tâm đường tròn ngoại tiếp BCEF

\(\Rightarrow\widehat{ENF}=2\widehat{ECF}\) (góc ở đỉnh và góc nt cùng chắn BC)

Tứ giác BDHF nội tiếp (D và F cùng nhìn BH dưới 1 góc vuông)

\(\Rightarrow\widehat{ADF}=\widehat{EBF}\) (cùng chắn HF)

Tứ giác BCEF nội tiếp (cm câu a) 

\(\Rightarrow\widehat{EBF}=\widehat{ECF}\) (cùng chắn EF)

\(\Rightarrow\widehat{ADF}=\widehat{ECF}\)

Tứ giác CDHE nội tiếp (D và E cùng nhìn CH dưới 1 góc vuông) 

\(\Rightarrow\widehat{ECF}=\widehat{EDH}\) (cùng chắn EH)

\(\Rightarrow\widehat{ADF}+\widehat{EDH}=2\widehat{ECF}\)

\(\Rightarrow\widehat{EDF}=2\widehat{ECF}\)

\(\Rightarrow\widehat{EDF}=\widehat{ENF}\)

\(\Rightarrow EFDN\) nội tiếp

\(\Rightarrow\widehat{DNF}=\widehat{DEF}\)

\(\Rightarrow\Delta PNF\sim\Delta PED\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{PN}{PE}=\dfrac{PF}{PD}\Rightarrow PN.PD=PE.PF\)

\(\Rightarrow PN.PD=PM.PA\)

\(\Rightarrow\dfrac{PD}{PM}=\dfrac{PA}{PN}\)

\(\Rightarrow\Delta PDA\sim\Delta PMN\left(c.g.c\right)\) (có góc P chung)

\(\Rightarrow\widehat{PMN}=\widehat{PDA}=90^0\)

Hay \(NM\perp AP\) (1)

Theo câu b ta có \(\dfrac{PE}{PA}=\dfrac{PM}{PF}\Rightarrow\Delta PAF\sim\Delta PEM\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{MAF}=\widehat{MEF}\Rightarrow AEFM\) nội tiếp

\(\Rightarrow\) 5 điểm A, E, H, F, M cùng thuộc 1 đường tròn

\(\Rightarrow\widehat{AMH}=\widehat{AFH}=90^0\)

\(\Rightarrow HM\perp AP\) (2)

(1);(2) \(\Rightarrow N,H,M\) thẳng hàng

Answer 2

Answer 3

a: Xét ΔABC có

BE,AD là các đường cao

BE cắt AD tại H

Do đó: H là trực tâm của ΔABC

=>CH\(\perp\)AB tại F

Xét tứ giác BFEC có \(\widehat{BFC}=\widehat{BEC}=90^0\)

nên BFEC là tứ giác nội tiếp

=>B,F,E,C cùng thuộc một đường tròn

b: Ta có: BFEC là tứ giác nội tiếp

=>\(\widehat{FBC}+\widehat{FEC}=180^0\)

mà \(\widehat{FBC}+\widehat{PBF}=180^0\)(hai góc kề bù)

nên \(\widehat{PBF}=\widehat{FEC}=\widehat{PEC}\)

Xét ΔPBF và ΔPEC có

\(\widehat{PBF}=\widehat{PEC}\)

\(\widehat{BPF}\) chung

Do đó: ΔPBF~ΔPEC

=>\(\dfrac{PB}{PE}=\dfrac{PF}{PC}\)

=>\(PB\cdot PC=PF\cdot PE\left(1\right)\)

Ta có: AMBC là tứ giác nội tiếp(A,M,B,C cùng thuộc (O))

=>\(\widehat{AMB}+\widehat{ACB}=180^0\)

mà \(\widehat{AMB}+\widehat{PMB}=180^0\)(hai góc kề bù)

nên \(\widehat{PMB}=\widehat{ACB}=\widehat{PCA}\)

Xét ΔPMB và ΔPCA có

\(\widehat{PMB}=\widehat{PCA}\)

\(\widehat{MPB}\) chung

Do đó: ΔPMB~ΔPCA

=>\(\dfrac{PM}{PC}=\dfrac{PB}{PA}\)

=>\(PM\cdot PA=PB\cdot PC\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(PE\cdot PF=PM\cdot PA\)