Question

Giải bpt nghiệm nguyên dương:

a) \(x^2+y^2+z^2< xy+3y+2z-3\)

b) \(1!+2!+3!+...+x!=y!\)

c) \(y^2z^2+2\left(y^2-2xy\right)+x\left(x-y\right)=0\)

Answer 1

a.

\(\Leftrightarrow\left(x-\dfrac{y}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\left(y-2\right)^2+\left(z-1\right)^2< 1\)

\(\Rightarrow\left(z-1\right)^2< 1\Rightarrow z=1\)

Khi đó: \(\dfrac{3}{4}\left(y-2\right)^2< 1\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y-2=1\\y-2=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow...\)

b.

Với \(x=1\Rightarrow y=1\)

Với \(x>1\): 

Quy nạp dễ dàng chứng minh \(1!+2!+...+x!< \left(x+1\right)!\)

\(\Rightarrow y!< \left(x+1\right)!\)

Mặt khác \(y!=1!+2!+...+x!>x!\)

\(\Rightarrow x!< y!< \left(x+1\right)!\Rightarrow\) ko tồn tại x;y>1 thỏa mãn

c.

\(\Leftrightarrow y^2z^2+2y^2-5xy+x^2=0\)

Do 3 số hạng đầu đều chia hết cho y \(\Rightarrow x\) chia hết cho y \(\Rightarrow x=ky\)

\(\Rightarrow y^2z^2+2y^2-5ky^2+k^2y^2=0\)

\(\Leftrightarrow k^2-5k+2+z^2=0\)

Tới đây chắc dễ rồi