1) Xét hai tam giác vuông: ∆AEH và ∆AHB có:
∠A chung
⇒ ∆AEH ∽ ∆AHB (g-g)
⇒ AE/AH = AH/AB
⇒ AE.AB = AH² (1)
Xét hai tam giác vuông: ∆AHF và ∆ACH có:
∠A chung
⇒ ∆AHF ∽ ∆ACH (g-g)
⇒ AH/AC = AF/AH
⇒ AF.AC = AH² (2)
Từ (1) và (2) ⇒ AE.AB = AF.AC
2) Do AE.AB = AF.AC (cmt)
⇒ AE/AC = AF/AB
Xét ∆AEF và ∆ACB có:
AE/AC = AF/AB (cmt)
∠A chung
⇒ ∆AEF ∽ ∆ACB (c-g-c)
3) Tứ giác AEHF có:
∠AFH = ∠AEH = ∠EAF = 90⁰
⇒ AEHF là hình chữ nhật
⇒ AH = EF
Xét hai tam giác vuông: ∆AHB và ∆CHA có:
∠HAB = ∠HCA (cùng phụ ∠B)
⇒ ∆AHB ∽ ∆CHA (g-g)
⇒ AH/HC = HB/AH
⇒ AH² = HB.HC
Mà AH = EF (cmt)
⇒ EF² = HB.HC
4) ∆ABC vuông tại A
⇒ BC² = AB² + AC² (Pytago)
= 6² + 8²
= 100
⇒ BC = 10 (cm)
Xét hai tam giác vuông: ∆ABC và ∆HBA có:
∠B chung
⇒ ∆ABC ∽ ∆HBA (g-g)
⇒ AB/BH = BC/AB
⇒ AB² = BH.BC
⇒ BH = AB² : BC
= 6² : 10
= 3,6 (cm)
⇒ CH = BC - BH
= 10 - 3,6
= 6,4 (cm)
Do HF ⊥ AC (gt)
AB ⊥ AC (∆ABC vuông tại A)
⇒ HF // AB
∆ABC có HF // AB (cmt)
⇒ HF/AB = CH/BC
⇒ HF = CH . AB : BC
= 6,4 . 6 : 10
= 3,84 (cm)
Do HE ⊥ AB (gt)
AC ⊥ AB (∆ABC vuông tại A)
⇒ HE // AC
∆ABC có HE // AC (cmt)
⇒ HE/AC = BH/BC
⇒ HE = BH . AC : BC
= 3,6 . 8 : 10
= 2,88 (cm)
Chu vi hình chữ nhật AEHF:
(HE + HF) . 2 = (2,88 + 3,84) . 2
= 13,44 (cm)
Diện tích hình chữ nhật AEHF:
HE . HF = 2,88 . 3,84
= 11,0592 (cm²)
4) Do ∆AEF ∽ ∆ACB (cmt)
⇒ Tỉ số diện tích của ∆AEF và ∆ACB là:
AE²/AC² = HF²/AC²
= 3,84²/8²
= 144/625
1: Xét ΔAEH vuông tại E và ΔAHB vuông tại H có
\(\widehat{EAH}\) chung
Do đó: ΔAEH~ΔAHB
=>\(\dfrac{AE}{AH}=\dfrac{AH}{AB}\)
=>\(AH^2=AE\cdot AB\left(1\right)\)
Xét ΔAFH vuông tại F và ΔAHC vuông tại H có
\(\widehat{FAH}\) chung
Do đó: ΔAFH~ΔAHC
=>\(\dfrac{AF}{AH}=\dfrac{AH}{AC}\)
=>\(AH^2=AF\cdot AC\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(AE\cdot AB=AF\cdot AC\)
2: ta có: \(AE\cdot AB=AF\cdot AC\)
=>\(\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AF}{AB}\)
Xét ΔAEF vuông tại A và ΔACB vuông tại A có
\(\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AF}{AB}\)
Do đó: ΔAEF~ΔACB
3: Xét tứ giác AEHF có \(\widehat{AEH}=\widehat{AFH}=\widehat{FAE}=90^0\)
nên AEHF là hình chữ nhật
=>AH=EF
Xét ΔHAB vuông tại H và ΔHCA vuông tại H có
\(\widehat{HAB}=\widehat{HCA}\)
Do đó: ΔHAB~ΔHCA
=>\(\dfrac{HA}{HC}=\dfrac{HB}{HA}\)
=>\(HA^2=HB\cdot HC\)
mà HA=FE
nên \(FE^2=HB\cdot HC\)
4: ΔABC vuông tại A
=>\(BC^2=AB^2+AC^2\)
=>\(BC^2=6^2+8^2=100=10^2\)
=>BC=10(cm)
Xét ΔHBA vuông tại H và ΔABC vuông tại A có
\(\widehat{HBA}\) chung
Do đó: ΔHBA~ΔABC
=>\(\dfrac{HA}{AC}=\dfrac{BA}{BC}=\dfrac{HB}{AB}\)
=>\(\dfrac{HA}{8}=\dfrac{6}{10}=\dfrac{HB}{6}\)
=>\(HB=6\cdot\dfrac{6}{10}=3,6\left(cm\right);HA=6\cdot\dfrac{8}{10}=4,8\left(cm\right)\)
\(AE\cdot AB=AH^2\)
=>\(AE\cdot6=4,8^2\)
=>\(AE=4,8^2:6=3,84\left(cm\right)\)
\(AF\cdot AC=AH^2\)
=>\(AF\cdot8=4,8^2\)
=>\(AF=2,88\left(cm\right)\)
Chu vi hình chữ nhật AEHF là:
\(\left(AE+AF\right)\cdot2=\left(2,88+3,84\right)\cdot2=13,44\left(cm\right)\)
Diện tích hình chữ nhật AEHF là:
\(S_{AEHF}=AE\cdot AF=2,88\cdot3,84=11,0592\left(cm^2\right)\)
5: Ta có: EF=AH
mà AH=4.8cm
nên EF=4,8(cm)
ΔAEF~ΔACB
=>\(\dfrac{S_{AEF}}{S_{ACB}}=\left(\dfrac{EF}{CB}\right)^2=\left(\dfrac{4.8}{10}\right)^2=\dfrac{144}{625}\)
