Question

\(\dfrac{2}{5^2}+\dfrac{2}{6^2}+\dfrac{2}{7^2}+...+\dfrac{2}{2020^2}\)

Chứng minh dãy phân số trên < \(\dfrac{1}{2}\)

Answer 1

\(\dfrac{2}{5^2}=\dfrac{2}{5.5}< \dfrac{2}{4.5}\\\dfrac{2}{6^2}=\dfrac{2}{6.6}< \dfrac{2}{5.6}\)

Làm tương tự với những số hạng còn lại

Khi đó:

 \(A=\dfrac{2}{5^2}+\dfrac{2}{6^2}+\dfrac{2}{7^2}+...+\dfrac{2}{2020^2}\\ < \dfrac{2}{4.5}+\dfrac{2}{5.6}+...+\dfrac{2}{2019.2020}\\ =2\left(\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{6}+...+\dfrac{1}{2019}-\dfrac{1}{2020}\right)\\ =2\left(\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2020}\right)=\dfrac{252}{505}< \dfrac{252}{504}=\dfrac{1}{2}\left(đpcm\right)\)

Chúc em học tốt!