Question

cmr: 2ⁿ>n³, với mọi n ≥ 10.

Answer 1

Chứng minh bằng phương pháp quy nạp:
Với n =10=> 2¹⁰=1024> 10³=1000 hiển nhiên đúng
Giả sử n = k thỏa mãn đề bài là 2^k>k³
tiếp theo chứng minh n = k+1 cũng thỏa mãn
với n= k+1 => k>9
Xét hiệu 2^k+1 - (k+1)³= 2^k+2^k -k³ -3k(k+1)-1 = (2^k-k³-1)+(2^k-3k²-3k) (*)
Ta thấy: 2^k>k³nên lớn hơn ít nhất 1 đơn vị vì 2^kvà k³ đều là số tự nhiên
=> 2^k-k³-1≥0 (1)
Đồng thời ta có: 3k²+3k> 3.9.9+3.9=270 =>-3k²-3k<-270 
Và k³> 9³>270 nên k³-3k²-3k>0 mà 2^k>k³ =>2^k-3k²-3k > 0 (2)
Từ (1) và (2) => (*)>0 => 2^k+1>(k+1)³
Vậy theo phương pháp quy nạp toán học ta có 2ⁿ>n³, với mọi n ≥ 10 ∈ N.