Question

Chứng minh rằng với mọi số x,y ta có

x⁴+y⁴≥ x³y+xy³

Answer 1

bđt <=> x⁴ + y⁴ - x³y - xy³ ≥ 0

<=> x(x³ - y³) - y(x³- y³) ≥ 0

<=> x(x - y)(x² + xy + y²) - y(x - y)(x² + xy + y²) ≥ 0

<=> (x - y)²(x² + xy + y²) ≥ 0 (1)

Ta có: (x - y)² ≥ 0 ∀x, y

x² + xy + y² = (x + \(\dfrac{1}{2}\)y)² + \(\dfrac{3}{4}\)y² ≥ 0 ∀ x, y

=> (1) luôn đúng

Dấu "=" xảy ra <=> x = y

Answer 2

theo bđt cauchy schwars ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x^4+y^4\ge2x^2y^2\\x^4+x^2y^2\ge2x^3y\\y^4+x^2y^2\ge2xy^3\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow2\left(x^4+y^4\right)+2x^2y^2\ge2\left(xy^3+x^3y\right)+2x^2y^2\)

\(\Leftrightarrow x^4+y^4\ge xy^3+x^3y\)

vậy đpcm