Xét hiệu \(x^4-15x+14=\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x^2+3x+7\right)\le0\)
\(\Rightarrow x^4\le15x-14\).
Tương tự: \(y^4\le15y-14;z^4\le15z-14\).
Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên kết hợp giả thiết x + y + z = 5 ta có:
\(P=x^4+y^4+z^4\le15\left(x+y+z\right)-42=33\).
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (x, y, z) = (2, 2, 1) và các hoán vị.
Vậy...
Nếu cảm thấy khó khăn khi tìm đánh giá kia thì bạn có thể làm từ từ từng bước như sau, đầu tiên so sánh \(x^2\) và \(x\) bằng 1 đánh giá cơ bản:
\(\left(x-1\right)\left(x-2\right)\le0\Leftrightarrow x^2\le3x-2\)
Tiếp theo ta so sánh \(x^4\) với \(x^2\) bằng 1 đánh giá tương tự:
\(\left(x^2-1\right)\left(x^2-4\right)\le0\Leftrightarrow x^4\le5x^2-4\)
\(\Rightarrow x^4\le5\left(3x-2\right)-4\Leftrightarrow x^4\le15x-14\)
