Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
nam do

cho x,y,z đôi một khác nhau sao cho \(0\le x,y,z\le2.\) Tìm GTNN của biểu thức

\(P=\frac{1}{\left(x-y\right)^2}+\frac{1}{\left(y-z\right)^2}+\frac{1}{\left(z-x\right)^2}\)

tthnew
16 tháng 10 2019 lúc 8:34

Đặt \(a=x-y;b=y-z\) thì \(2\ge a,b\ge-2\) và a, b khác 0; \(a\ne-b\)( vì nếu a = -b thì a + b = 0 hay x -z = 0 => z - x = 0 (vô lí) )

Xét: \(2\ge a,b>0\) thì \(\frac{9}{\left(a+b\right)^2}\ge\frac{9}{\left(2+2\right)^2}=\frac{9}{16}\) vì khi đó a + b >0 nên (a+b)2 \(\le\left(2+2\right)^2=16\))

Xét \(-2\le a,b< 0\) thì a + b < 0 suy ra \(\left(a+b\right)^2< \left(-2+-2\right)^2=16\)

Từ 2 trường hợp trên ta suy ra \(\frac{9}{\left(a+b\right)^2}\ge\frac{9}{16}\).

Ta có: \(P=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{\left(a+b\right)^2}\ge\frac{2}{ab}+\frac{1}{\left(a+b\right)^2}\ge\frac{8}{\left(a+b\right)^2}+\frac{1}{\left(a+b\right)^2}=\frac{9}{\left(a+b\right)^2}\ge\frac{9}{16}\)

Vậy...

P/s: Em ko chắc. @Nguyễn Việt Lâm: Em làm thế này có đúng ko ạ? Em ko chắc chỗ xét 2 th ấy, có giải thích quá....:((


Các câu hỏi tương tự
Kakarot Songoku
Xem chi tiết
tran thi mai anh
Xem chi tiết
Trần Thị Hảo
Xem chi tiết
Hoàng Quốc Tuấn
Xem chi tiết
dbrby
Xem chi tiết
Mẫn Đan
Xem chi tiết
fghj
Xem chi tiết
Agami Raito
Xem chi tiết
Annie Scarlet
Xem chi tiết