Question

Chứng minh rằng với mọi số nguyên a,b, c thì \(\left(a-b\right)^5+\left(b-c\right)^5+\left(c-a\right)^5\) chia hết cho 30

Answer 1

Ta có a - b + b - c + c - a = 0 \(⋮30\)

=> (a - b) + (b - c) + (c - a) \(⋮\)30 (0) 

Xét hiệu (a - b)⁵ + (b - c)⁵ + (c - a)⁵ - [(a - b) + (b - c) + (c - a)] 

= [(a - b)⁵ - (a - b)] + [(b - c)⁵ - (b - c)] + [(c - a)⁵ - (c - a)]

Nhận thấy : (a - b)⁵ - (a - b) = (a - b)[(a - b)⁴ - 1]

= (a - b)[(a - b)² - 1][(a - b)² + 1] 

= (a - b)[(a - b)² - 1][(a - b)² - 4 + 5]

=  (a - b)[(a - b)² - 1][(a - b)² - 4] +  5(a - b)[(a - b)² - 1]  

= (a - b - 2)(a - b - 1)(a - b)(a - b + 1)(a - b + 2) + 5(a - b - 1)(a - b)(a - b + 1)

Nhận thấy (a - b - 2)(a - b - 1)(a - b)(a - b + 1)(a - b + 2) + 5(a - b - 1) \(⋮\)30 (tích 5 số nguyên liên tiếp) (1)

Lại có (a - b - 1)(a - b)(a - b + 1) \(⋮\)6

=> 5(a - b - 1)(a - b)(a - b + 1) \(⋮\)30 (2) 

Từ (1) và (2) =>  (a - b - 2)(a - b - 1)(a - b)(a - b + 1)(a - b + 2) + 5(a - b - 1)(a - b)(a - b + 1) \(⋮\)30 

=> (a - b)⁵ + (b - c)⁵ + (c - a)⁵ - [(a - b) + (b - c) + (c - a)]  \(⋮\)30 (4) 

Từ (0) ; (4) => (a - b)⁵ + (b - c)⁵ + (c - a)⁵ \(⋮\)30 (đpcm)