Question

Chứng minh bất đẳng thức:

\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\ge\frac{3}{2}.\)Với \(a\ge b\ge c>0\)

Answer 1

Đặt: a + b = x; b + c = y; c + a = z

Thì ta có: x \(\ge\)z \(\ge\)y

Theo đề bài ta có:

\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\ge\frac{3}{2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a}{a+b}-\frac{1}{2}+\frac{b}{b+c}-\frac{1}{2}+\frac{c}{c+a}-\frac{1}{2}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{a-b}{2\left(a+b\right)}+\frac{b-c}{2\left(b+c\right)}+\frac{c-a}{2\left(c+a\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{z-y}{2x}+\frac{x-z}{2y}+\frac{y-x}{2z}\ge0\)

\(\Leftrightarrow xy^2+yz^2+zx^2-x^2y-y^2z-z^2x\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(y-x\right)\left(z-y\right)\left(z-x\right)\ge0\)(1)

Mà ta lại có 

\(\hept{\begin{cases}y-x\le0\\z-x\le0\\z-y\ge0\end{cases}}\)nên (1) đúng

\(\Rightarrow\)ĐPCM

Đấu = xảy ra khi x = y = z hay a = b = c

Answer 2

Đặt b+c=m

      a+c=n

      a+b=p

=>a+b+c =\(\frac{m+n+p}{2}\) 

a=\(\frac{n+p-m}{2}\) 

b=\(\frac{m+p-n}{2}\) 

c=\(\frac{m+n-p}{2}\) 

=>\(\frac{n+p-m}{2m}+\frac{m+n-p}{2n}+\frac{m+n-p}{2p}\) 

=\(\frac{1}{2}\left(\frac{n}{m}+\frac{m}{n}\right)\) +\(\frac{1}{2}\left(\frac{p}{m}+\frac{m}{p}\right)\) +\(\frac{1}{2}\left(\frac{p}{n}+\frac{n}{p}\right)\) -\(\frac{3}{2}\) \(\ge\) \(\frac{3}{2}\) 

Áp dụng BĐT Cosi cho  2 số \(\frac{n}{m};\frac{m}{n}\)  ta được:

 Từ chứng minh tiếp ....

Answer 3

Đã làm, làm tới cùng xem nào? 

Answer 4

đây là BĐT nesbitt cách cm bn xem ở wikipedia

Bất đẳng thức Nesbitt – Wikipedia tiếng Việt

(a=100;b=1;c=1/100)

Answer 5

Trên mạng dừng lại đó do vậy làm tiếp làm sao được

Answer 6

2 cái khác nhau hoàn toàn nha Thắng Nguyễn

Answer 7

@TN xem lại có copy cũng phải copy cho nó chuẩn

@ con gái :

xem lại đi--> sai tét rồi đấy

Answer 8

Áp dụng BDT Cosi cho 2 số \(\frac{n}{m}\) , \(\frac{m}{n}\) ta được

         \(\frac{n}{m}+\frac{m}{n}\ge2.\sqrt{\frac{n}{m}.\frac{m}{n}}\) =2

<=> \(\frac{n}{m}+\frac{m}{n}\)+ 2 \(\ge\) 4

=> Bất đẳng thức \(\ge\) 4

Dấu bằng xảy ra <=> \(\frac{n}{m}=\frac{m}{n}\) 

                        <=> \(\frac{a+c}{b+c}=\frac{b+c}{a+c}\) 

                       <=> a = b= c

Answer 9

có vẻ con gai Obama chưa biết mình sai ở Đâu

Answer 10

lớp 8 mình chịu

Answer 11

Lớp 8 chịu vì chưa học lớp 8 mà

Answer 12

Bài này được áp dụng Cauchy Schwarz ko ạ ? 

Answer 13

em có cách khác nek.ngắn hơn nhiều nha(sai thì ib vs mik chứ đừng chửi mik,nhục lắm)

Áp dụng bất đẳng thức cauchy-schwarz,ta được:

\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=\frac{a^2}{ab+ac}+\frac{b^2}{cb+ab}+\frac{c^2}{ac+cb}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\ge\frac{3\left(ab+bc+ca\right)}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{3}{2}\)

dấu "=" xảy ra khi:a=b=c

bài giải còn áp dụng bất  đẳng thức:\(3\left(ab+bc+ca\right)\le\left(a+b+c\right)^2\)