Question

Cho x,y,z>0 và x+y+z=1 

Tìm Min P=\(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\)

Answer 1

ta có: \(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y+z}{4}\ge2\sqrt{\frac{x^2}{y+z}.\frac{y+z}{4}}=x\)(dấu = xảy ra khi \(\left(y+z\right)^2=4x^2\)↔y+z=2x)

tương tự ta có:\(\frac{y^2}{x+z}+\frac{x+z}{4}\ge y;\frac{z^2}{x+y}+\frac{x+y}{4}\ge z\)(dấu = cũng xảy ra khi x+z=2y;x+y=2z)

cộng từng vế ta có:P+\(\frac{x+y+z}{2}\ge x+y+z\)

→P\(\ge\frac{x+y+z}{2}\)mà x+y+x=1

\(P\ge\frac{1}{2}\)↔\(\begin{cases}y+z=2x\\x+z=2y\\x+y=2z\end{cases}\)→x=y=z=1/3