Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
dinh huong

cho \(x,y,z>0\) thỏa mãn\(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=1\).CMR
\(xy+yz+zx\le\dfrac{3}{4}\)

Nguyễn Việt Lâm
21 tháng 9 2021 lúc 8:41

\(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)-xyz\)

\(=\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)-\sqrt[3]{xyz}.\sqrt[3]{xy.yz.zx}\)

\(\ge\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)-\dfrac{1}{3}.\left(x+y+z\right).\dfrac{1}{3}\left(xy+yz+zx\right)\)

\(=\dfrac{8}{9}\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)\)

\(\ge\dfrac{8}{9}\sqrt{3\left(xy+yz+zx\right)}.\left(xy+yz+zx\right)\)

\(=\dfrac{8}{9}\sqrt{3\left(xy+yz+zx\right)^3}\)

\(\Rightarrow3\left(xy+yz+zx\right)^3\le\left(\dfrac{9}{8}\right)^2\)

\(\Rightarrow\left(xy+yz+zx\right)^3\le\dfrac{27}{64}\)

\(\Rightarrow xy+yz+zx\le\dfrac{3}{4}\)


Các câu hỏi tương tự
ILoveMath
Xem chi tiết
Nhok_baobinh
Xem chi tiết
dinh huong
Xem chi tiết
ILoveMath
Xem chi tiết
dekhisuki
Xem chi tiết
Bình Nguyễn Thái
Xem chi tiết
Phùng Quang Thịnh
Xem chi tiết
nguyen kim chi
Xem chi tiết
nguyen kim chi
Xem chi tiết