Cho tam giacABC có ba góc nhọn. Đường cao AF, BE cắt nhau tại H. Từ A kẻ tia Ax vuông góc với AC, từ B kẻ tia By vuông góc với BC. Tia Ax và By cắt nhau tại K.
1) Tứ giác AHBK là hình gì? Vì sao? 2) Chứng minh: tam giac HEF đồng dạng tam giac HAB
3) CE.CA = CF.CB
4) tam giac ABC cần thêm điều kiện gì để tứ giác AHBK là hình thoi?
1: Ta có: KA\(\perp\)AC
BE\(\perp\)AC
Do đó: KA//BE
=>KA//BH
Ta có: KB\(\perp\)BC
AF\(\perp\)BC
Do đó: KB//AF
Xét tứ giác AHBK có
AH//BK
AK//BH
Do đó: AHBK là hình bình hành
2: Xét ΔHEA vuông tại E và ΔHFB vuông tại F có
\(\widehat{EHA}=\widehat{FHB}\)(hai góc đối đỉnh)
Do đó: ΔHEA~ΔHFB
=>\(\dfrac{HE}{HF}=\dfrac{HA}{HB}\)
=>\(\dfrac{HE}{HA}=\dfrac{HF}{HB}\)
Xét ΔHEF và ΔHAB có
\(\dfrac{HE}{HA}=\dfrac{HF}{HB}\)
\(\widehat{EHF}=\widehat{AHB}\)(hai góc đối đỉnh)
Do đó: ΔHEF~ΔHAB
3: Xét ΔCEB vuông tại E và ΔCFA vuông tại F có
\(\widehat{ECB}\) chung
Do đó: ΔCEB~ΔCFA
=>\(\dfrac{CE}{CF}=\dfrac{CB}{CA}\)
=>\(CE\cdot CA=CB\cdot CF\)
4: Để AHBK là hình thoi thì HA=HB
=>ΔHAB cân tại H
=>\(\widehat{HAB}=\widehat{HBA}\)
Ta có: \(\widehat{HAB}+\widehat{ABC}=90^0\)(ΔAFB vuông tại F)
\(\widehat{HBA}+\widehat{BAC}=90^0\)(ΔBAE vuông tại E)
mà \(\widehat{HAB}=\widehat{HBA}\)
nên \(\widehat{CAB}=\widehat{CBA}\)
