Cho tam giác MNP cân tại M, có góc M là góc tù trên cạnh NP lấy điểm A và B sao cho NB=PA (điểm B nằm giữa N và A). a) Chứng minh tam giác BMN = tam giác AMP. b) kẻ BH vuông góc với MN tại H kẻ AK vuông góc với MP tại K chứng minh BH=AK. c) HK // NP. d) kẻ trung tuyến MF của tam giác MBP. Chứng minh: BH, AK, MF đồng quy.
a) Xét \(\text{ΔBMN}\) và \(\text{ΔAMP}\), có:
\(\text{MN = MP}\) (\(\text{ΔMNP}\) cân tại M)
\(\text{NB = PA (gt)}\)
\(\widehat{N}=\widehat{P}\) (\(\text{ΔMNP }\)cân tại M)
\(\Rightarrow\text{ΔBMN}=\Delta AMP\left(c.g.c\right)\)
b) Xét \(\text{ΔBHM}\) và \(\text{ΔAKM}\), có:
\(\widehat{\text{BHM}}=\widehat{AKM}=90^o\) \(\left(BH\perp MN;AK\perp MP\right)\)
\(BM=AM\left(\text{ΔBMN}=\Delta AMP\right)\)
\(\widehat{M}\) là góc chung
\(\RightarrowΔBHM=ΔAKM\left(cạnh.huyền;góc.nhọn\right)\)
\(\Rightarrow BH=AK\)
c) \(\widehat{HBM}=\widehat{KAM}\left(ΔBHM=ΔAKM\right)\)
mà \(\widehat{HBM};\widehat{KAM}\) ở vị trí so le trong
\(\Rightarrow HK//NP\)
d) Gọi \(\text{O}\) là giao điểm của \(BH;AK\)
Qua \(\text{M}\) kẻ đường thẳng song song với \(\text{NP}\) cắt \(\text{BH}\) tại \(\text{I.}\)
Ta có :
\(IO//NP\) (cách dựng)
\(HK//NP\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow\) Tứ giác \(\text{HIKO}\) là hình bình hành (hai cặp cạnh đối song song)
\(\Rightarrow OI=HK\)
mà \(BH=AK;HK=OI\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow BH=OI\)
\(\Rightarrow\) \(\text{B}\) đối xứng với \(\text{I}\) qua \(\text{O.}\)
mà \(\text{F}\) là trung điểm của \(\text{BP}\) (\(\text{MF}\) là trung tuyến của \(\text{ΔMBP}\)).
\(\Rightarrow\) \(\text{O}\) là trung điểm của \(\text{BI.}\)
\(\Rightarrow\) \(BH,AK,MF\) đồng quy tại O.
