Cho tam giác cân ABC có AB bằng AC. Trên tia đối của tia BC và CB lấy hai điểm D và E sao cho BD = CE. Từ D kẻ DM vuông góc với BC, từ E kẻEN vuông góc với BC
a) Chứng minh DM bằng EM
b) Chứng minh tam giác AMN là tam giác cân
c) Từ B và C kẻ các đường vuông góc với AM và AN chúng cắt nhau tại I. Chứng minh AI là tia phân giác của góc BAC và góc MAC
Nhã Doanh, nguyen thi vang, Ribi Nkok Ngok, Phạm Hoàng Giang, Nguyễn Thị Bích Thủy, Nguyễn Huy Tú, Nguyễn Thanh Hằng, Nguyễn Như Nam, Mysterious Person, An Trần, Lightning Farron, Võ Đông Anh Tuấn, Đẹp Trai Không Bao Giờ Sai, Akai Haruma, soyeon_Tiểubàng giải, Phương An, Hoàng Lê Bảo Ngọc, Trần Việt Linh,...
Bài này đề sai đó bạn, ý cuối phải là Chứng minh AI là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\) và \(\widehat{MAN}\) . Nhìn kỹ sẽ thấy ngay.
(Hình chỉ mang tính minh họa)
a) Ta có: AD = AB + BD
AE = AC + CE
mà AB = AC, BD = CE (gt)
\(\Rightarrow\) AD = AE
\(\Rightarrow\Delta\) ADE cân tại A
Xét \(\Delta\) ADE, có: \(\widehat{DAE}\) + \(\widehat{ADE}\) + \(\widehat{AED}\) = 180o (tổng 3 góc trong tam giác)
\(\Rightarrow\) \(\widehat{ADE}\) + \(\widehat{AED}\) = 180o - \(\widehat{DAE}\)
\(\Rightarrow\) \(\widehat{ADE}\) = \(\widehat{AED}\) = \(\dfrac{180^o-\widehat{DAE}}{2}\) (1)
Xét \(\Delta\) ABC, có: \(\widehat{ABC}\) + \(\widehat{BAC}\) + \(\widehat{ACB}\) = 180o (tổng 3 góc trong tam giác)
\(\Rightarrow\) \(\widehat{ABC}\) + \(\widehat{ACB}\) = 180o - \(\widehat{BAC}\)
\(\Rightarrow\) \(\widehat{ABC}\) = \(\widehat{ACB}\) = \(\dfrac{180^o-\widehat{BAC}}{2}\) (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\) \(\widehat{ADE}\) = \(\widehat{ABC}\)
mà 2 góc này nằm ở vị trí đồng vị \(\Rightarrow\) BC//DE
b) Có: \(\widehat{ABC}\) = \(\widehat{MBD}\) (2 góc đối đỉnh)
\(\widehat{ACB}\) = \(\widehat{NCE}\) (2 góc đối đỉnh)
\(\Rightarrow\) \(\widehat{MBD}\) = \(\widehat{NCE}\)
Xét \(\Delta\) MBD vuông tại M và \(\Delta\) NCE vuông tại N, có:
BD = CE (gt)
\(\widehat{MBD}\) = \(\widehat{NCE}\) (cmt)
\(\Rightarrow\) \(\Delta\) MBD = \(\Delta\) NCE (cạnh huyền - góc nhọn)
\(\Rightarrow\) DM = EN (2 cạnh tương ứng)
MBD = NCE (cmt) \(\Rightarrow\widehat{D_1}\) = \(\widehat{E_1}\) (2 góc tương ứng)
Xét \(\Delta\) AMD và \(\Delta\) ANE, có:
MD = NE (cmt)
\(\widehat{D_1}\) = \(\widehat{E_1}\) (cmt)
AD = AE (cmt)
\(\Rightarrow\Delta\) AMD = \(\Delta\) ANE (c.g.c)
\(\Rightarrow\) AM = AN (2 cạnh tương ứng)
\(\Rightarrow\Delta\) AMN cân tại A
c) Gọi IH \(\perp\) AM và IK \(\perp\) AN
\(\Delta\) AMN cân tại A (cmt) \(\Rightarrow\) \(\widehat{A_1}\) = \(\widehat{A_2}\) (2 góc tương ứng)
Xét \(\Delta\) AHB vuông tại H và \(\Delta\) AKC vuông tại K, có:
\(\widehat{A_1}\) = \(\widehat{A_2}\) (cmt)
AB = AC (cmt)
\(\Rightarrow\Delta\) AHB = \(\Delta\) AKC (cạnh huyền - góc nhọn)
\(\Rightarrow\) AH = AK (2 cạnh tương ứng)
Xét \(\Delta\) AHI vuông tại H và \(\Delta\) AKI vuông tại K, có:
AH = AK (cmt)
AI là cạnh chung
\(\Rightarrow\Delta\) AHI = \(\Delta\) AKI (cạnh huyền - cạnh góc vuông)
\(\Rightarrow\widehat{HAI}\) = \(\widehat{KAI}\) (2 góc tương ứng)
\(\Rightarrow\) AI là tia phân giác của \(\widehat{MAN}\)
Lại có: \(\widehat{MAI}\) = \(\widehat{MAB}\) + \(\widehat{BAI}\)
\(\Rightarrow\) \(\widehat{NAI}\) = \(\widehat{NAC}\) + \(\widehat{CAI}\)
mà \(\widehat{MAI}\) = \(\widehat{NAI}\) (cmt) ; \(\widehat{MAB}\) = \(\widehat{NAC}\) (cmt)
\(\Rightarrow\widehat{BAI}\) = \(\widehat{CAI}\)
\(\Rightarrow\) AI là tia phân giác của \(\widehat{BAI}\)
_Yorin_
