a: Xét tứ giác AEMF có \(\widehat{AEM}=\widehat{AFM}=\widehat{FAE}=90^0\)
=>AEMF là hình chữ nhật
=>ME=AF; MF=AE
Xét ΔMFC vuông tại F có \(\widehat{C}=45^0\)
nên ΔMFC vuông cân tại F
=>MF=FC
=>MF=FC=AE
Xét ΔMEB vuông tại E có \(\widehat{B}=45^0\)
nên ΔMEB vuông cân tại E
=>EM=EB
=>EB=FA
ΔABC vuông cân tại A
mà AD là đường cao
nên D là trung điểm của BC
=>DA=DB=DC
=>ΔDAC cân tại D
=>\(\widehat{DAC}=\widehat{DCA}=45^0\)
Xét ΔDEB và ΔDFA có
EB=FA
\(\widehat{EBD}=\widehat{FAD}\left(=45^0\right)\)
DB=DA
Do đó: ΔDEB=ΔDFA
b: ΔDEB=ΔDFA
=>DE=DF(2)
Ta có: \(\widehat{ADM}=\widehat{AFM}=\widehat{AEM}=90^0\)
=>A,D,M,F,E cùng thuộc đường tròn đường kính AM
mà A,E,M,F cùng thuộc đường tròn có hai đường kính là AM,FE(Do AEMF là hình chữ nhật)
nên D nằm trên đường tròn đường kính FE
=>ΔDFE vuông tại D(1)
Từ (1),(2) suy ra ΔDEF vuông cân tại D
Giải:
hình bạn tự vẽ nhé!
a)
- Xét \( \triangle DEB \) và \( \triangle DFA \):
- Ta có \( \angle DEB = \angle DFA \) (cùng bằng \( 90^\circ \) vì \( ME \perp AB \) và \( MF \perp AC \)).
- Góc \( \angle BDE = \angle ADF \) (vì \( \triangle ABC \) vuông cân tại A nên \( AB = AC \), mà \( \triangle ADB = \triangle ADC \), suy ra \( BD = DF \)).
- \( DE = DF \) (cùng là đoạn thẳng vuông góc từ M đến các cạnh AB và AC).
Vậy \( \triangle DEB = \triangle DFA \) (theo trường hợp cạnh góc vuông bằng nhau và một góc nhọn tương ứng bằng nhau).
b)
- Để chứng minh \( \triangle DEF \) là tam giác vuông cân, ta cần chứng minh:
- \( \angle DEF = 90^\circ \).
- \( DE = DF \).
\( \triangle DEB = \triangle DFA \), nên \( DE = DF \).
\( \angle DEF = \angle DEB + \angle DFA = 90^\circ \).
Vậy \( \triangle DEF \) là tam giác vuông cân.
