Cho tam giác \(ABC\), trung tuyến \(AM\). Điểm \(E\) bất kì thỏa mãn \(2\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{0}\). Đường thẳng \(d\) qua \(E\) song song với \(AB\) cắt \(AM,BC\) lần lượt tại \(D,F\). \(G\) nằm trên cạnh \(AB\) sao cho diện tích hai tam giác \(BFG,ADE\) bằng nhau. Biết \(\overrightarrow{AG}=k\overrightarrow{AB}\). Tìm giá trị \(k\).
A. \(k=\dfrac{1}{3}\)
B. \(k=\dfrac{1}{2}\)
C. \(k=\dfrac{1}{4}\)
D. \(k=\dfrac{2}{3}\)
(Giải chi tiết giúp em ạ, em cảm ơn)
Bài này có nhiều cách làm, vẽ thêm đường phụ cũng được, dùng định lý Menelaus cũng được nhưng lớp 10 thì nên dùng vecto
Ta có:
\(k=\dfrac{AG}{AB}=1-\dfrac{BG}{AB}=1-\dfrac{DE}{AB}=1-\dfrac{2DE}{3EF}\)
Đặt \(\dfrac{AD}{AM}=m\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{ED}=m\overrightarrow{EM}+\left(1-m\right)\overrightarrow{EA}\)
\(=m\left(\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{CM}\right)+\dfrac{1}{3}\left(m-1\right)\overrightarrow{AC}\)
\(=\dfrac{2}{3}m\overrightarrow{AC}+\dfrac{1}{2}m\overrightarrow{CB}+\dfrac{1}{3}\left(m-1\right)\overrightarrow{AC}\)
\(=\left(m-\dfrac{1}{3}\right)\overrightarrow{AC}+\dfrac{1}{2}m\overrightarrow{CB}\)
Lại có: \(\overrightarrow{EF}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{CB}\)
Mà \(D,E,F\) thẳng hàng nên:
\(\left(m-\dfrac{1}{3}\right)\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{2}m.\dfrac{2}{3}\Leftrightarrow m=\dfrac{2}{3}\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{ED}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{EF}\Rightarrow ED=\dfrac{1}{2}EF\)\(\Leftrightarrow\dfrac{DE}{EF}=\dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow k=\dfrac{2}{3}\)
